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相关试卷

1、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $Q (3, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $A B$ 平行于 $y$ 轴时， $|A B| = 6$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、是否存在不同于点 $Q$ 的定点 $M$ ，使得 $∠ A M Q = ∠ B M Q$ 恒成立？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于异于 $A$ ， $B$ 的 $C$ ， $D$ 两点，其中点 $A, D$ 在第四象限，直线 $A C$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $G, H$ （ $G$ 与 $H$ 不重合），设线段 $G H$ 的中点为 $N (n, 0)$ ，求实数 $n$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - \ln 2$ ，求实数a的取值范围.

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，证明： $\frac{1}{3} \leq S_{n} < \frac{1}{2}$ .

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4、2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
满意度
性别
合计
女性
男性
比较满意
r
s
50
非常满意
t
40
70
合计
60
l
120

(1)、求 $\frac{r - s}{l - t}$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？

(3)、用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设 $X$ 表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828

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5、已知曲线 $E : y^{2} = 4 \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2} - 4$ ，则E的一条对称轴方程为；已知A，B是E上不同于原点O的两个顶点，C为E上与A，B不共线的一个动点，则 $△ A B C$ 面积的最大值为

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6、 $6$ 个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为.

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7、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ ，函数 $f (x) = \log_{a} x$ ，若 $f (b^{4}) + f (\sqrt{b}) = 3$ ，则 $\log_{a} b =$ .

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8、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， P、Q分别为棱 $C_{1} D_{1}$ 、 $D D_{1}$ 的中点，点E满足 $\vec{A E} = λ \vec{A B_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，动点F在矩形 $A D D_{1} A_{1}$ 内部及其边界上运动，且满足 $P F = \sqrt{5}$ ，点M在棱 $A A_{1}$ 上，将 $△ A D M$ 绕边AD旋转一周得到几何体 $Ω$ ，则（）

A、动点F的轨迹长度为 $π$ B、存在E，F，使得 $E F //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、三棱锥 $P - A_{1} Q E$ 的体积是三棱锥 $B_{1} - P B C$ 体积的 $\frac{3}{2}$ 倍 D、当动点F的轨迹与几何体 $Ω$ 只有一个公共点时，几何体 $Ω$ 的侧面积为 $8 \sqrt{3} π$

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9、已知点 $A (1, 2)$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上，则下列结论正确的是（）

A、C的实轴长小于2 B、C的渐近线方程可能为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、C的离心率大于 $\sqrt{5}$ D、C的焦距不可能为4

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10、已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 内有3个零点 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{19 π}{12}$ 对称

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11、已知函数 $f (x) = 2 a x |x - b|$ ， $a \neq 0$ .若不等式 $a \leq f (x) \leq b$ 的解集为 $\{x |a \leq x \leq 2 b\}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c \cos B = 2 a \cos A - b \cos C$ ， BC边上一点D满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且AD平分 $∠ B A C$ .若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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13、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形， $A B$ 与 $C D$ 分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点 $A$ 出发绕圆柱的侧面到点 $C$ 的最小距离为 $\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{9}}$ ，则直线 $A B$ 与直线 $C D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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14、已知 $A, B$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ （ $c$ 为椭圆 $E$ 的半焦距）上存在点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是顶角为 $120 °$ 的等腰三角形，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则椭圆 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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15、平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $\vec{m} - 2 \vec{n} = (4, 3)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = - 2$ ，则 ${\vec{m}}^{2} + 4 {\vec{n}}^{2} =$ （）

A、25 B、21 C、17 D、13

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16、已知 $α$ 为锐角，且 $\tan α = 3 \sin α$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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17、若复数 $z = \frac{5}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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18、已知集合 $M = \{x |x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ， $N = \{x |- 4 < x < 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 2, 1}$

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19、若 $\sqrt{3} sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 \sqrt{3} sin 2 (x + φ)$ ，则 $φ$ 的一个可能的值是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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20、阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：
知识卡片1：
一般地，如果两数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断，用分点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{i - 1} < x_{i} < \dots < x_{n} = b$ 将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上任取一点 $ξ_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，n），作和式 $\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$ $= \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} f (ξ_{i})$ （其中 $Δ x$ 为小区间长度），当 $n \to \infty$ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，即 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} f (ξ_{i})$ .这里， $a$ 与 $b$ 分别叫做积分下限与积分上限，区间 $[a, b]$ 叫做积分区间，函数 $f (x)$ 叫做被积函数，x叫做积分变量， $f (x) d x$ 叫做被积式.从几何上看，如果在区间 $[a, b]$ 上函数 $f (x)$ 的图象连续不断且恒有 $f (x) \geq 0$ ，那么定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示由直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = f (x)$ 所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.
知识卡片2：
一般地，如果 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断，并且 $F^{'} (x) = f (x)$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ），从几何上看，定积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x$ 的值为由直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的区域即曲边梯形 $A B Q P$ 的面积，根据微积分基本定理可得 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = {\ln x|}_{a}^{b} = \ln b - \ln a$ .

(1)、求下列定积分：
① $\int_{π}^{2 π} \sin x d x =$                   ；
② $\int_{0}^{1} 2^{x} d x =$                   ；
③ $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x =$                   ；
④ $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x =$                   .

(2)、已知 ${(1 + x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，计算：
① $S_{1} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7}$ ；
② $S_{2} = a_{0} + \frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{3} a_{2} + \frac{1}{4} a_{3} + \frac{1}{5} a_{4} + \frac{1}{6} a_{5} + \frac{1}{7} a_{6} + \frac{1}{8} a_{7}$

(3)、当 $x \in R$ ， $|x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ .计算： $T = 1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots$

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满意度	性别		合计
满意度	女性	男性	合计
比较满意	r	s	50
非常满意	t	40	70
合计	60	l	120

$α$	0.1	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828