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相关试卷

1、如图，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 x, A, B, M, N$ 为抛物线 $Γ$ 上四点，点 $T$ 在 $y$ 轴左侧，且 $M$ ， $N, D$ 分别为线段 $T A, T B$ 和 $A B$ 的中点．

(1)、证明：直线 $T D$ 与 $x$ 轴平行或重合．

(2)、设圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 3$ ，若 $T$ 为圆 $C$ 上的动点，设 $△ T A B$ 的面积为S，求S的最大值．

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2、某中学开展劳动主题德育活动，高一某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间 $y$ （单位：小时）关于月份 $x$ 的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \frac{32}{7}$ ， $y$ 与 $x$ 的原始数据如表所示：
月份 $x$
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间 $y$
8
9
$n$
12
$m$
19
22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 448$ ．

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设 $ξ$ 表示“达标”的数据组数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．参考公式：在经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ．

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = B B_{1} = 2, D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ．

(2)、若 $B C = 2$ ，且 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，求二面角 $D - A C_{1} - C$ 的余弦值．

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4、已知函数 $f (x) = x ln x, g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $f (x)$ 的图象在点 $(1, 0)$ 处的切线与 $g (x)$ 的图象相切，求 $a$ 的值．

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5、函数 $f (x) = A sin(ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，已知 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，且 $| x_{2} - x_{1} | < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + \frac{π}{6}) =$ ．

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6、如图，点 $M, N$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，且 $M N$ 的中点 $A$ 在直线 $x = - 1$ 上，线段 $M N$ 的中垂线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $B (- 3, 0)$ ，则双曲线的方程可以为．

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7、已知集合 $A = \{x| 0 < x < 3\}, B = \{- 2, - 1,0, 1,2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ ．

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8、已知 $2^{x} = 3^{y} = 6$ ，则实数 $x, y$ 满足（）

A、 $(x - 1) (y - 1) = 1$ B、 $x + y > 4$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1$ D、 $x y > 4$

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $Q$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点．则下列结论正确的是（）

A、存在点 $Q$ ．使得 $P Q ∥ B D$ B、存在点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1} D$ C、三棱锥 $Q - A P D$ 的体积不是定值 D、存在点 $Q$ ．使得 $P Q ⊥ A C$

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10、某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.005 B、估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C、估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D、估计总体中成绩落在 $[60, 70)$ 内的学生人数为150

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11、如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中．以 $C$ 为圆心，1为半径的圆分别交 $C D, B C$ 于点 $E, F$ ．当点 $P$ 在劣弧 $E F$ 上运动时， $\vec{B P} \cdot \vec{D P}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - 2 \sqrt{2}, - \frac{1}{2}]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{2}, - 1]$ C、 $[- 1, 1 - \sqrt{2}]$ D、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}]$

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12、如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为 $3 km$ ，山高为 $3 \sqrt{15} km, B$ 是山坡 $S A$ 上一点，且 $A B = 7 km$ ．现要建设一条从 $A$ 到 $B$ 的环山观光公路，这条公路从 $A$ 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（）

A、 $10.2 km$ B、 $12 km$ C、 $\frac{25}{13} km$ D、 $\frac{144}{13} km$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a + \frac{e}{x}, x > 0 \\ e^{- x}, x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) + e x = 0$ 存在三个不相等的实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e)$ B、 $(- \infty, - e)$ C、 $(- \infty, - 2 e)$ D、 $(- \infty, 2 e)$

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14、已知 $α, β$ 满足 $tan (α + \frac{π}{6}) = 3, tan(\frac{π}{12} - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $tan (α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{5} - S_{3} = 6$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、36 B、24 C、18 D、32

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16、已知 $\frac{z}{z - i} = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$

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17、已知 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 是椭圆 $M$ 的两个焦点，过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 3$ ，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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19、如图，在 $△ A O B$ 中， $D$ 是边 $O B$ 的中点， $C$ 是边 $O A$ 上靠近点 $O$ 的一个三等分点， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $M$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

（1）用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{O M}$ .
（2）过点 $M$ 的直线与边 $O A$ ， $O B$ 分别交于点 $E$ ， $F$ .设 $\vec{O E} = p \vec{a}$ ， $\vec{O F} = q \vec{b}$ ，求 $\frac{1}{p} + \frac{2}{q}$ 的值.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b \cos C = c \sin B$ ．

(1)、求角C的大小

(2)、若 $c = 2 \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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月份 $x$	1	2	3	4	5	6	7
人均月劳动时间 $y$	8	9	$n$	12	$m$	19	22