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相关试卷

1、已知复数 $z$ ：满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的实部为1 C、 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z} = - 1 + i$ D、 $\bar{z}$ 在复平面中对应的点位于第四象限

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2、下列命题错误的是（）

A、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B、四边形可以确定一个平面 C、经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D、经过两条平行直线，有且只有一个平面

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3、已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 4, B C = 2$ ， $P$ 是平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 最小值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{9}{8}$ D、0

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4、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 4, A = 60 °$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，则 $A D$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{59}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{47}}{2}$

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5、 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3}, B = \frac{π}{6}, b = 2$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{π}{2}$

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的中点，记 $\vec{A B} = \vec{m}$ ， $\vec{A D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \vec{n}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \vec{n}$ C、 $\vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} + b c = a^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图， $O^{'} A^{'} = 2, O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, ∠ A^{'} O^{'} B^{'} = 45 °$ ，则原 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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9、已知 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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10、已知复数 $z$ 满足 $z = 2 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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11、某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中 $A$ 校和 $B$ 校各4名， $C$ 校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.

(1)、若来自 $A$ 校的4名毕业生的面试序号分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ，来自 $B$ 校的4名毕业生的面试序号分别为 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，且 $b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4}$ ，来自 $C$ 校的2名毕业生的面试序号分别为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ，且 $c_{1} < c_{2}$ .
（i）求概率 $P (b_{4} = 10), P (a_{4} < c_{2})$ ；
（ii）记随机变量 $X = a_{4}$ ，求 $X$ 的均值 $E (X)$ .

(2)、经面试，第 $i$ 位面试者的面试得分为 $N_{i}$ ，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则： $S = \{j ∣ j \geq 4$ ，且 $N_{j} > N_{i}, 1 \leq i \leq j - 1\} \cup \{10\}$ ，集合 $S$ 中的最小元素为 $k$ ，最终录用第 $k$ 位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.

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12、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}, A C = B D = 1, C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 为 $θ, M, N$ 分别为 $A D, B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、若 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值；

(3)、设在四面体 $A B C D$ 内有一个半径为 $r$ 的球，若 $x = θ$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ .

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13、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为 $Γ$ 的左、右顶点，在过点 $A$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上任取一点 $P$ ，过 $P$ 作 $Γ$ 的切线，切点为 $C$ （异于 $A$ ），作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ .记 $△ P B C$ 和 $△ P B D$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{cases} a_{n} + 2, n 为奇数, \\ 2 a_{n}, n 为偶数 . \end{cases}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 2$ ，求 $b_{1}, b_{2}$ ，并证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、记 $c_{n} = a_{2 n} + 3$ ，求满足 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 100$ 的所有正整数 $n$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2 x} + ln x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线方程.

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16、设点 $P (x, y)$ 在“笑口”型曲线 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} + |y - \frac{5}{2}| = \frac{7}{2}$ 上，则 $x^{2} + 2 y^{2} - 5 y$ 的最小值为.

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17、已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{2} b sin C$ ，则 $A =$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = e^{a_{n} - 2} + 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、 $\exists n \in N^{*}, a_{n} > 2$ C、 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < \frac{1}{2} a_{n}^{2} - a_{n} + 2$ D、 $\forall n \in N^{*}, a_{n} \leq \frac{2 n - 1}{n}$

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20、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} \cdot sin x \cdot ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 内存在零点 B、0是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内存在极大值 D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递减

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