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相关试卷

1、已知点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $O (0, 0), A (1, 1)$ ，当 $∠ P O A$ 最大时，则 $cos ∠ P O A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$

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3、函数 $f (x) = x |x - m| + n^{2}$ 是奇函数的充要条件是（）

A、 $m n = 0$ B、 $m^{2} + n^{2} = 0$ C、 $m - n = 0$ D、 $m + n = 0$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} = 2$ ， $a_{2} = 2$ ，记 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{3} =$ （）

A、4 B、6.5 C、8 D、12

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5、已知复数z满足 $z \cdot i = 1 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{8}$ 的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A、56 B、-56 C、70 D、-70

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7、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{x |\frac{x - 1}{x} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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8、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $A (1, 0)$ 在双曲线 $E$ 上．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = \frac{1}{2} x + m$ ， $l$ 交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，
①是否存在直线 $l : y = \frac{1}{2} x + m$ 满足 $A P ⊥ A Q$ ，若存在求出直线 $l$ 的方程，若不存在请说明理由；
②若 $m \geq 1$ ，求 $△ O P Q$ 的面积的最小值．

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 c \sin C = (3 a + 2 b) \sin A + (3 b + a) \sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 8$ ，求 $c$ 的最小值及 $△ A B C$ 的面积.

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10、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{2}$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(3)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ．

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11、当m为何值时，复数 $z = m^{2} (1 + i) - m (3 + i) - 6 i$ ， $(m \in R)$ 是：

(1)、实数；

(2)、虚数；

(3)、纯虚数．

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12、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2, b c = 4$ .

(1)、若 $\sin A = \frac{2}{3}$ ，求 $\sin B \cdot \sin C$ 的值；

(2)、求角 $A$ 的最大值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.

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13、如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔 $A B$ 的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为 $45 °$ ， $30 °$ ，在水平面上测得 $∠ B C D = 120 °$ ， C，D两地相距 $500m$ ，则电视塔 $A B$ 的高度是m．

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14、 $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{3 + i}{1 + i}$ 的共轭复数为．

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15、（多选）下列说法正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | \neq 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ C、向量 $\vec{A B}$ 的长度与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 D、单位向量都相等

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16、（多选） $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $a : b : c = 4 : 5 : 6$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、若 $sin A = sin B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $A = 30 ° ， b = 4, a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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17、（多选）下列四个命题，错误的是（）

A、两个复数不能比较大小 B、若复数z满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若实数a与 $a i$ 对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D、纯虚数集相对复数集的补集是虚数集

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18、葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为 $\sqrt{13}$ ，记两球心分别为 $O_{1}, O_{2}$ ， $P$ 为两个球面交线上一点，则 $\vec{P O_{1}} \cdot \vec{P O_{2}} =$ （）

A、6 B、5 C、7 D、8

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19、在菱形 $A B C D$ 中，点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}, \vec{B N} = \vec{N M}$ ，则 $\vec{D N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A D}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (m, 4)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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