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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{a}{\sqrt{x}} - 2 e$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{\ln x}{2 x}$ 有实根，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $F (x) = f (x) + \frac{1}{2} a \ln x + 2 e$ 有 $2$ 个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，证明： $F (x_{1}^{2}) + F (x_{2}^{2}) > 6 - 16 \ln 2$ ．

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2、在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，测量结果为1的概率为 $1 - p$ ．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为 $q_{1}$ ；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为 $q_{2}$ ．

(1)、在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率．

(2)、设 $p = \frac{1}{2}$ ，随机变量 $X$ 表示两个量子比特的测量结果之和．
（i）求 $X$ 的分布列；
（ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变 $q_{1}$ ， $q_{2}$ ，且 $q_{1}$ ， $q_{2} \in (0,1)$ ， $q_{1} + q_{2} = 1$ ， $D (X) < 0.4$ ，求 $q_{1}$ 的取值范围．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, △ P A D$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $A B C D$ 为直角梯形，且 $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D, A B = B C = 1, E$ 是棱 $P D$ 上一动点.

(1)、若 $E$ 为棱 $P D$ 的中点，证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $P D$ 上靠近 $P$ 点的三等分点，求平面 $E B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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4、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $C_{1}$ 的焦点与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦点重合．

(1)、求 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若过点 $M (1, 0)$ 且与 $C_{2}$ 的一条渐近线平行的直线与 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ O A B$ 的面积．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 0$ ， $a_{6} = 1 - 2 a_{1}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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6、如图，点 $A, B, C$ 是函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的相邻的三个交点， $D (0, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是 $f (x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点，若 $|B C| - |A B| = \frac{π}{3}$ ，则 $f (- \frac{π}{6}) =$ .

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且位于第一象限， $O$ 为坐标原点，设 $∠ P F O$ 的平分线交 $C$ 于点 $M$ ，交 $l$ 于点 $N$ ，若 $|N F| = 3 |M F|$ ，则 $|P F| =$ .

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8、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} =$ ．

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，周长为 $L$ ，重心为 $G$ ，若 $\frac{a c}{a + c + b} = \frac{a + c - b}{3}$ ， $c = 2$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $S$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ C、 $L$ 的取值范围是 $(3 + \sqrt{3}, 6 + 2 \sqrt{3})$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10、已知双曲线 $C$ 关于 $x$ 轴、 $y$ 轴均对称，若 $C$ 过点 $(2, 3)$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值 $X$ （单位： $mmol / L$ ）近似服从正态分布 $N (5.2, {0.3}^{2})$ ，则（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx$ 0.9973．

A、该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B、该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C、该年龄段人群空腹血糖检测值在 $4.6 ~ 5.8$ 的比例约为 $95.45 %$ D、该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 $0.27 %$

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12、若 $a$ 、 $b \in (0, 1)$ ，且 $\frac{\cos a}{a} = \frac{\sin (\cos b)}{b} = 1$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $b > a$ B、 $b < a$ C、 $b = a$ D、 $a + b < 1$

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13、甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（）

A、 $\frac{125}{864}$ B、 $\frac{125}{1728}$ C、 $\frac{175}{864}$ D、 $\frac{175}{1728}$

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14、如图，圆台 $O_{1} O$ 的高为 $\sqrt{15}$ ， $Q P$ 是母线， $O_{1} Q = 3$ ， $O P = Q P$ .现在将圆台的侧面沿 $Q P$ 剪开，并展开成平面图形，点 $P$ 在侧面展开图中对应的点为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长度为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、 $16 \sqrt{2}$

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15、为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有 $4$ 架不同型号的四旋翼无人机和 $3$ 架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（）

A、 $72$ 种 B、 $144$ 种 C、 $1440$ 种 D、 $5040$ 种

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16、已知向量 $\vec{m} = (3, - 1)$ ， $\vec{n} = (1, 2)$ ， $\vec{p} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{m} + \vec{n}) // (\vec{p} - k \vec{n})$ ，则实数 $k$ 的值（）

A、 $- \frac{7}{19}$ B、 $\frac{7}{19}$ C、 $- 2$ D、2

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17、函数 $f (x) = 2^{x} - x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为（）

A、2 B、 $2 \ln 2$ C、 $2 \ln 2 - 2$ D、 $2 - 2 \ln 2$

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18、若集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\} ， B = \{x |\frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5)$ D、 $[- 2, 5)$

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19、 $\frac{1 + 2 i}{- 1 + i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、对 $\forall k \geq 3$ ，方程 $f (x) - k = 0$ 恒有两个不同的实数解 C、 $πln 2 > 2 lnπ$ D、存在 $k \in R$ ，使得直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切

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