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相关试卷

1、下列求导结果正确的是（）

A、 $(\sin 3)^{'} = \cos 3$ B、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ C、 $(x \ln x)^{'} = \ln x + \frac{1}{x}$ D、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求a；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $a = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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3、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, b) ， \vec{n} = (\sqrt{3} cos A,sin B) ，$ $\vec{p} = (b - c, a - c) .$

(1)、若 $\vec{m} // \vec{n} ，$ 求A；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}, c = 2, C = \frac{π}{3} ，$ 求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知向量 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{b} = 4 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，其中 $\vec{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、试计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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5、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为．

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6、在 $△ A B C$ 中，若 $A = 45 °$ ， $B = 30 °$ ， $a = 2 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ ．

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7、下列结论正确的是（）

A、若复数 $z$ 满足 $|z| = 2$ ，则 $z = \pm 2 i$ B、若复数 $3 + i$ 与 $- 2 + 4 i$ 在复平面内分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 5 + 3 i$ C、若复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z (2, - 1)$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、若复数 $z$ 满足 $2 \leq |z| \leq 3$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 $5 π$

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8、已知 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}, \vec{A F} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $2 λ + 8 μ$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、6

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9、在 $△ A B C$ ，若 $a \cos B = b \cos A$ ，且 $a = b \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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10、已知 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是直角三角形，如图所示，其中 $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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11、十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的 $n$ 阶泰勒展开式为：
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ ，
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots$ ，
$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + \dots$ ，
其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ ，读作 $n$ 的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算 $\cos 0.3$ ，得到的值约为 $0.9553365$ ，用泰勒展开式前三项计算 $\cos 0.3$ 得到 $\cos 0.3 \approx 1 - \frac{{0.3}^{2}}{2!} + \frac{{0.3}^{4}}{4!} = 0.9553375$ .

(1)、 $a = \sin 0.8$ ， $b = \cos 0.6$ ， $c = e^{- 0.2}$ ，比较 $a, b, c$ 的大小；

(2)、当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，证明： $x > \sin x > \frac{1}{2} x$ ；

(3)、设 $f (x) = - 2 \sin x$ ，是否存在区间 $[a, b]$ ，使得 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$ ？若存在，求出所有的区间 $[a, b]$ .

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12、已知函数 $f (x) = e^{x - 1}$ .

(1)、若 $\forall x \in R$ ， $a f (x) \geq x$ ，求实数a的取值集合；

(2)、设 $g_{n} (x) = x f (x) - n$ ，
（i）对任意正整数n，证明：函数 $g_{n} (x)$ 有唯一的零点（记零点为 $x_{n}$ ）；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}} \leq \frac{1}{2} (n + 1 + \ln n)$ .

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13、已知 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式的二项式系数和为 $64$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的含有 $x^{3}$ 的项；

(3)、求展开式中系数的绝对值最大的项.

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a x + a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16、 $101^{10}$ 除以1000，所得余数为．

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17、某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是.

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18、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点 $x_{0}$ ，如图，在 $x = x_{0}$ 处作 $f (x)$ 图象的切线，切线与 $x$ 轴的交点横坐标记作 $x_{1}$ ：用 $x_{1}$ 替代 $x_{0}$ 重复上面的过程可得 $x_{2}$ ；一直继续下去，可得到一系列的数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 $x_{n - 1}$ ， $x_{n} (n \in N^{*})$ 近似值相等时，该值即作为函数 $f (x)$ 的一个零点 $r$ .若要求 $\sqrt[3]{6}$ 的近似值 $r$ (精确到0.1)，我们可以先构造函数 $f (x) = x^{3} - 6$ ，再用“牛顿法”求得零点的近似值 $r$ ，即为 $\sqrt[3]{6}$ 的近似值，则下列说法正确的是（）

A、对任意 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} < x_{n - 1}$ B、若 $x_{0} \in Q$ ，且 $x_{0} \neq 0$ ，则对任意 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} = \frac{2}{3} x_{n - 1} + \frac{2}{x_{n - 1}^{2}}$ C、当 $x_{0} = 2$ 时，需要作2条切线即可确定 $r$ 的值 D、无论 $x_{0}$ 在 $(2, 3)$ 上取任何有理数都有 $r = 1.8$

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19、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (\sqrt{x}) < f (x)$ C、 $f (x)$ 的零点个数为3 D、不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |x > - 2$ 且 $x \neq 1\}$

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20、若函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{a}{x^{2}}$ （ $a \in R$ ）在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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