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相关试卷

1、圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 $F_{2}$ 处发出的光线，经过双曲线在点 $P$ 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 $F_{1}$ ，且双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 $C$ 过点 $(3, - 1)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．若从 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上一点 $P$ 反射的光线为 $P Q$ ，点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - 2 y^{2} = 1$ B、过点 $P$ 且垂直于 $P T$ 的直线平分 $∠ F_{2} P Q$ C、若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 16$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|P T| = \frac{4 \sqrt{30}}{5}$

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2、已知 $n \in N^{*}$ ，设函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) - \log_{(4 n - 1)} x$ 的零点个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10}$ ＝（）

A、120 B、210 C、75 D、240

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3、从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（）

A、A与B互斥 B、A与B独立 C、A与C互斥 D、A与C独立

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项中最有可能为 $y = f (x)$ 图象的是（     ）


A、        B、    C、    D、

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5、已知 $A (- 2, - 1)$ ， $B (0, 1)$ 两点，且 $A B$ 是圆M的直径，则圆M的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ B、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$

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6、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的模为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7、若非空数集 $A$ 满足： $\forall a \in A$ ，都存在 $b \in [t, t^{2} + 3]$ （其中 $t \in R$ ），使得 $a = b^{2} + 2 t b$ ，则称集合 $A$ 是 $t$ 的“理想集”.

(1)、若集合 $A_{1} = \{0\}$ ， $A_{2} = \{3, 5\}$ ，请判断集合 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 是否为1的“理想集”，并说明理由；

(2)、记集合 $A_{3} = \{m, |m| + 1\}$ ，若集合 $A_{3}$ 为 $- 2$ 的“理想集”，则实数 $m$ 的最大值；

(3)、记集合 $A = \{2 t + 1, 3 t + 2\} (t \neq - 1)$ ，若集合 $A$ 是 $t$ 的“理想集”，求实数 $t$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ ， $y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 4, 4]$ 上的最大值；

(3)、 $a \in R$ ，试求关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2} + a + 2) + f (- 2 a x - 2 x) > 0$ 的解集.

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9、某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积 $x$ （单位： $m^{3}$ ）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过 $500 m^{3}$ .为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费 $E$ （单位：万元）与修建的沼气发电池的容积 $x$ （单位： $m^{3}$ ）之间的函数关系为 $E (x) = \frac{k}{x + 40}$ （实数 $k$ 为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）.

(1)、试解释 $E (0)$ 的实际意义，并写出S关于 $x$ 的函数关系；

(2)、该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值.

(3)、要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积 $x$ （单位： $m^{3}$ ）的取值范围.

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10、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 2)$ ，函数 $g (x) = \frac{1 + f (x)}{1 - f (x)}$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式，并指出函数 $g (x)$ 的定义域 $D$ ；

(2)、讨论函数 $g (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并证明.

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11、已知集合 $A = \{x \in R | x > 3\}$ ， $B = \{x \in R |\frac{x - 5}{x - 1} < 0\}$ .

(1)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、记集合 $C = \{2 a + 1, 9 - 2 a\}$ .若集合 $C$ 是集合 $A$ 的子集，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = k - \sqrt{x + 2}$ ，存在实数 $a$ 、 $b (a < b)$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ，则实数 $k$ 的取值范围是

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13、函数 $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + a x + 1)$ 为偶函数，则函数 $a$ 的值为

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14、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$ 的定义域为

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15、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.下列说法正确的有（）

A、若函数 $f (x) = \frac{2 x}{x - a} (a \in R)$ 且 $f (2) = 4$ ，则函数 $y = f (x - 1) - 2$ 为奇函数 B、若函数 $g (x) = x^{3} + b x^{2}$ 图象关于点 $(- 2, g (- 2))$ 成中心对称，则实数 $b$ 的值为6 C、若函数 $h (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心为 $(m, n)$ ，则 $m + n = 1$ D、记函数 $h_{1} (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心为 $(m, n)$ ， $h_{2} (x) = - \frac{1}{x - m}$ ， $φ (x) = h_{1} (x) + h_{2} (x)$ ，若函数 $φ (x)$ 在区间 $(c, d)$ 上单调递增，则实数 $d$ 的值可以是 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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16、若 $a$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 4$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a b \leq 4$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ C、 $a - \frac{1}{b} < 2$ D、 $a^{2} + b^{2} > 6$

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17、已知集合 $A = \{x \in N | x < 6\}$ ， $B = \{x \in N^{*} | x^{2} - 3 x < 4\}$ ，则（）

A、 $0 \in A$ B、 $4 \in B$ C、 $\emptyset \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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18、若函数 $h (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 2, x \leq m \\ - x + 4, x > m \end{cases}$ 的值域是 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[- 2, 4]$ D、 $[- 2, 3]$

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19、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，且 $f (1) = 2$ ，若 $f (m + 1) > 2 - m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、命题“ $\exists x \in (0, 1)$ ， $\frac{2 x + 1}{x} + \frac{2 - x}{1 - x} < a$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[7, + \infty)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $(- \infty, 7]$

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