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相关试卷

1、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， n)$ ，若 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m n =$ （）

A、 $\pm 3$ B、 $3$ C、 $\pm 6$ D、 $- 6$

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2、已知函数 $f (x) = \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $- \sin x + \cos x$ B、 $\sin x - \cos x$ C、 $\sin x + \cos x$ D、 $- \sin x - \cos x$

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3、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、…、第 $i_{m}$ 项 $(i_{1} < i_{2} < ... < i_{m})$ ，若 $a_{i_{1}} < a_{i_{2}} < ... < a_{i_{m}}$ ，则称新数列 $a_{i_{1}} ， a_{i_{2}} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{i_{m}}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列．规定：数列 $\{a_{n}\}$ 的任意一项都是 $\{a_{n}\}$ 的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{m_{0}}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{n_{0}}$ .若 $p < q$ ，求证： $a_{m_{0}} < a_{n_{0}}$ ；
（Ⅲ）设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s - 1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s - 1$ 的递增子列恰有 $2^{s - 1}$ 个 $(s = 1, 2, ...)$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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5、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 为椭圆上一动点，且在 $x$ 轴上方，延长 $A F_{1}$ ， $A F_{2}$ 分别交椭圆于点 $B$ ， $C$ ．

(1)、若 $|A F_{1}| = 3 |A F_{2}|$ ，求直线 $B C$ 的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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6、已知函数 $f (x) = a x \ln (1 + x) + x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若0是函数 $g (x) = e^{x} - f (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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7、治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．

(1)、补全 $2 \times 2$ 列联表（单位：人），并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；
药物
疗效
合计
治愈
未治愈
创新药

传统药

合计

(2)、从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用 $X$ 表示回访中治愈者的人数，求 $X$ 的分布列及均值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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8、已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．设函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} + x) + cos (- x)$ ，则 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ =；记 $\vec{O M} = (2, 0)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} |cos x| - k$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个零点，则实数 $k$ 的取值范围为．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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10、在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 和双曲余弦函数 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，从它们可以导出双曲正切函数 $\tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ 等，则下列说法正确的是（）

A、 $(\tanh x)^{'} = 1 - {(\tanh x)}^{2}$ B、 $\tanh x > \cosh x$ 恒成立 C、 $\forall x_{0} > 0$ ， $\sinh (\sinh x_{0}) > \sinh x_{0}$ D、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $\frac{\sinh x_{1} - \sinh x_{2}}{x_{1} - x_{2}} > 1$

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11、设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 1$ B、 $|A B| = 8$ C、以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $S_{△ A O B} = 4$

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12、已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）²>（ax）²的解集中的整数恰有3个，则

A、－1<a<0 B、0<a<1 C、1<a<3 D、3<a<6

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13、在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $B + D = π$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $C D = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ C、 $4 (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ D、 $4 (\sqrt{3} + \sqrt{6})$

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14、已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为 $9 π$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $30 π$

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15、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线 $l$ ， M，N分别是 $l$ 与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段 $F N$ 的中点，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$

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16、已知随机事件 $A$ ， $B$ ， $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B |\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{A} |\bar{B}) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (B)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 0)$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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18、我们将满足下列条件的函数 $f (x)$ 称为“ $L$ 伴随函数”：存在一个正常数 $L$ ，对于任意的 $x$ 都有 $f (2 L + x) = f (- x)$ 且 $f (3 L + x) = - f (x)$ .

(1)、是否存在正常数 $L$ ，使得 $f (x) = cos x$ 是“ $L$ 伴随函数”？若存在，请求出一个 $L$ 的值；若不是，请说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 是“ $\frac{π}{4}$ 伴随函数”，且当 $x \in [\frac{π}{4}, π]$ 时， $f (x) = - 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ .
（i）求当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4})$ 时， $f (x)$ 的解析式；
（ii）若 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} (n \in N^{*})$ 为方程 $f (x) = a (- 2 \leq a \leq 2)$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{11 π}{2}]$ 上的根，求 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ 的值.

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19、某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $16 m^{2}, 3$ 月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $36 m^{2}$ ，凤眼莲的覆盖面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型： $y = k a^{x} (a > 1)$ 与 $y = m x^{2} + n x + \frac{32}{3}$ .

(1)、分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式；

(2)、若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为 $95 m^{2}$ ，判断上述两个函数模型中哪个更合适.

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20、已知 $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $tan θ = \frac{cos θ}{4 - sin θ}$ .

(1)、求 $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $cos 2 θ - sin 2 θ$ 的值.

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药物	疗效		合计
药物	治愈	未治愈	合计
创新药
传统药
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635