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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $2 \vec{a}$ D、 $2 \vec{b}$

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2、设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $4 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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3、化简 $\vec{M A} - (\vec{B A} - \vec{C M}) + \vec{B C} =$ （）

A、 $2 \vec{M C}$ B、 $2 \vec{C B}$ C、 $2 \vec{B C}$ D、 $\vec{0}$

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4、已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $i$ C、0 D、1

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5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 和角 $β (0 < α < \frac{π}{2} < β < \frac{2 π}{3})$ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，点C与点B关于x轴对称．

(1)、求 $\frac{\cos (2 α - \frac{π}{2})}{\sin^{2} α + \cos 2 α}$ 的值；

(2)、若 $\cos ∠ A O C = - \frac{63}{65}$ ，求 $\cos β$ 的值．

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6、已知下列五个函数 $y = x, y = \frac{1}{x}, y = x^{2}, y = \ln x, y = e^{x}$ ，从中选出两个函数分别记为 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的图象如图所示，则 $F (x) =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增，则下列判断中正确的是（）

A、 $ω$ 的最大值为2 B、若 $φ = - \frac{π}{6}$ ，则 $ω \in (0, 1]$ C、若 $f (\frac{5 π}{12}) > 0$ ，则 $f (\frac{π}{6}) + f (\frac{2 π}{3}) < 0$ D、若函数 $y = f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 两个零点间的最小距离为 $\frac{π}{6}$ ，则 $ω = 2$

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8、下列各式的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\sin (- 930 °)$ B、 $2 \sin \frac{π}{12} \sin \frac{5 π}{12}$ C、 $\cos 33 ° \cos 27 ° + \sin 33 ° \sin 27 °$ D、 $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$

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9、已函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{a x + 1} (a \in R)$ ，若对于定义域内任意一个自变量 $x$ 都有 $f (x) > 0$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10、对于任意实数a，b，c，d，表达式 $a d - b c$ 称为二阶行列式，记作 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ ．

(1)、求下列行列式的值：
① $|\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}|$ ；② $|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

(2)、求证：向量 $\vec{p} = (a, b)$ 与向量 $\vec{q} = (c, d)$ 共线的充要条件是 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = 0$ ；

(3)、讨论关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ （ $a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} \neq 0$ ）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）

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11、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos φ - \cos 2 x \sin φ$ ，其中 $|φ| < \frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 $f (x)$ 存在，并完成下列两个问题．
条件①： $f (x + \frac{π}{3})$ 为奇函数；条件②： $f (0) = f (\frac{2}{3} π)$ ；条件③： $f (\frac{π}{3} - x) = f (\frac{π}{3} + x)$

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、若 $m > 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上最小值为 $- \frac{1}{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．
条件①：对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ 成立；
条件②： $f (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ ；
条件③： $f (\frac{π}{3}) - f (- \frac{π}{6}) = 2$ ．

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12、如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $12 \sqrt{6}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $8 \sqrt{3}$ n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．

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13、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ B =60 °$ ，且 $\vec{B C} = 3 \vec{A D}$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{O C}$ ， $\vec{O B}$ ；

(2)、求 $cos ∠ C O D$ 的值．

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14、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(3)、当k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ？

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15、如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量 $\overset{⃑}{A P} = λ \overset{⃑}{A B} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是．

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16、已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，
①若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；②若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ ；
③若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；④若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ ．
其中正确命题的序号是．

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17、已知向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则求 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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18、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，那么 $\bar{z} =$ ， $| z | =$ ．

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19、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, m)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, - 2)$ ，且 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $m =$ .

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，且 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} = - 3 \sqrt{3}$ ，则 $|\overset{⃑}{A C} - λ \overset{⃑}{A B}| (λ \in R)$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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