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相关试卷

1、已知 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ ；

(2)、已知 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = - \frac{4}{5}$ ．求 $\cos 2 β$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \sqrt{3} a cos C + c sin A = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点， $C D = C A, A D = \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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3、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $|3 \vec{a} - 4 \vec{b}|$ ．

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4、设 $⊙ C$ 半径为 $r$ ，若 $A$ ， $B$ 两点都是 $⊙ C$ 上的动点， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值．

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5、已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于 $36 π {cm}^{3}$ ，则正方体的表面积为．

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6、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，则 $|\vec{A B} + \vec{A D}|$ 为．

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{10}}{2} \vec{b}$ C、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5$ D、与向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{5})$

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8、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、2sin15°cos15° B、2sin²15°-1 C、 $\frac{3 \tan 15 °}{1 - {t a n}^{2} 15 °}$ D、 $\frac{1 + t a n 15 °}{2 (1 - t a n 15 °)}$

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9、设 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则（）

A、复数 $z$ 的实部是 $- 1$ ，虚部是1 B、复数 $z$ 的实部是1，虚部是 $- 1$ C、复数 $z$ 的共轭复数是 $- 1 + i$ D、复数 $z$ 的模是 $\sqrt{2}$

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B E} + \frac{2}{3} \vec{C E}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B E} + \frac{1}{3} \vec{C E}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{B E} - \frac{2}{3} \vec{C E}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{B E} - \frac{1}{3} \vec{C E}$

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11、一个三棱柱容器中盛有水，侧棱 $A A_{1} = 8$ ，若侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 如图2水平放置时，水面恰好过AC，BC， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12、若复数 $\frac{2 - a i}{1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4)$ D、 $(- 4, 1)$

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13、若圆锥的底面半径为1，体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ ，则该圆锥侧面展开图的面积是（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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14、已知 $Rt △ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一平面图形的直观图，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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15、已知 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (6, y)$ ，若 $\vec{a} / /$ $\vec{b}$ ，则 $y$ 等于（）

A、 $- 12$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $12$

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16、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A D = D B = D C = B C$ ， $E$ 为 $A B$ 中点， $M$ 为 $D E$ 中点， $N$ 为 $D C$ 中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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17、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - y^{2} = 1$ ， $F$ 为右焦点，斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，设点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，其中 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，过 $M$ 且斜率为 $- 1$ 的直线与过 $N$ 且斜率为1的直线交于点 $T$ ，直线 $T F$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $T$ 为线段 $A B$ 的中点，则点 $T$ 的坐标为.

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18、从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有种

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19、从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点 $A$ 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走 $n$ 次时恰好为第一次回到 $A$ 点的概率为 $P_{n} (n \in N_{+})$ ，恰好为第二次回到 $A$ 点的概率为 $Q_{n} (n \in N_{+})$ ，则（）

A、 $P_{3} = \frac{2}{9}$ B、 $Q_{4} = \frac{1}{27}$ C、 $n \geq 2$ 时， $\frac{P_{n + 1}}{P_{n}}$ 为定值 D、数列 $\{Q_{n}\}$ 的最大项为 $\frac{4}{27}$

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 \sqrt{2}$ ， $P$ 为正方体内部一动点，球 $O$ 为正方体内切球，过点 $P$ 作直线与球 $O$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ O M N$ 的面积最大值为4，则满足条件的 $P$ 点形成的几何体体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{64}{3} \sqrt{2} π$ C、 $128 \sqrt{2} - \frac{16}{3} π$ D、 $128 \sqrt{2} - \frac{32}{3} π$

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