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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x + \ln (a x) + \frac{1}{a} x e^{x}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若集合 $\{x |f (x) \geq - 1\}$ 有且只有一个元素，求a的值.

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为 $\sqrt{6}$ 的菱形.
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）设 $M (\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ 、 $B$ 是椭圆 $E$ 上两点，且 $A B$ 的中点在线段 $O M$ （不含端点 $O$ 、 $M$ ）上，求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的取值范围.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $P A = P D = A D$ ， $P C = P B$ .

(1)、若O为 $A D$ 的中点，证明： $C O ⊥ P O$ ；

(2)、若 $∠ C D A = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = 1$ ，点M满足 $\vec{D M} = 2 \vec{M P}$ ，求平面 $P C B$ 与平面 $A C M$ 所成角的余弦值.

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4、红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{7}$ ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的

(1)、求袋中原有白球的个数；

(2)、求甲取得胜利的概率

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5、已知公差为整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 12$ ，且 $a_{1} - 1, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} (a_{n} - 2)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、已知在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，侧棱长为4，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，且 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C P$ 长度的最小值为.

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7、已知 $a \neq 0$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 1, x < - 1, \\ (x - 2) e^{x} + 2, x \geq - 1 \end{array}$ 有最小值，则实数 $a$ 的最大值为.

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8、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.

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9、双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为C的左支上任意一点，直线l： $y = \frac{b}{a} x$ ， $P Q ⊥ l$ ，垂足为Q.当 $|P F_{2}| + |P Q|$ 的最小值为3时， $F_{1} Q$ 的中点在双曲线C上，则（）

A、C的方程 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、C的离心率为 $\sqrt{2}$ C、C的渐近线方程为 $y = \pm x$ D、C的方程为 $x^{2} - y^{2} = 1$

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10、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（ $m > 0$ ）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a \equiv b (\mod 10)$ ，则b的值不可能的是（）

A、2018 B、2020 C、2022 D、2024

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = p a_{n} + 3^{n} (n \in N^{*}, p \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $p = 0$ ，则 $S_{n} = \frac{3^{n - 1} + 1}{2}$ B、若 $p = 1$ ，则 $a_{n} = \frac{3^{n - 1} - 1}{2}$ C、若 $p = 2$ ，则数列 $\{a_{n} - 3^{n}\}$ 是等比数列 D、若 $p = 3$ ，则数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列

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12、设 $a = 6, b = 3 e ln 2, c = 2 e ln 3$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n + 3, a_{1} = 1$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、110 B、115 C、120 D、125

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14、3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（）

A、6 B、12 C、24 D、72

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15、已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上一点 $P$ 的横坐标为4，则点 $P$ 到焦点的距离为（）

A、4 B、2 C、6 D、8

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16、若角 $α$ 的终边位于第二象限，且 $\sin α = \frac{1}{2}$ ，则 $sin (\frac{π}{2} - α) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 和 $g (x) = \sqrt{x}$ .

(1)、求证： $f (x) < g (x)$ ；

(2)、设 $φ (x) = [\frac{4}{g^{2} (x)} + t] f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值点，求实数 $t$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x (a \geq 2)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于3的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上恰有两个零点，求a的取值范围．

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19、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 $\frac{64 π}{3}$ m³.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．

(1)、将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；

(2)、确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．

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20、已知函数f(x)＝x²＋aln x．

(1)、当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)、若函数g(x)＝f(x)＋ $\frac{2}{x}$ 在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．

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