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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .

(1)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角：

(2)、若 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ， $(\vec{c} + \vec{a}) / / \vec{b}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标.

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2、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ，且 $(1+3 i) z$ 为纯虚数.
（1）求复数 $z$ ；
（2）若 $z=(2-i) w$ ，求复数 $w$ 的模 $|w|$ .

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3、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ ， $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ ， $D$ ，测得 $C D = 80$ ， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离为.

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4、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\overset{⇀}{E C} = λ \overset{⇀}{A D} + μ \overset{⇀}{A B}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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5、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 |\vec{b}|$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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6、定义两个非零平面向量的一种新运算 $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{a} \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ B、 ${(\vec{a} * \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$ C、 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$ D、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行

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7、设z是复数，则下列命题中的假命题是

A、若 $z^{2} \geq 0$ ，则z是实数 B、若 $z^{2} < 0$ ，则z是虚数 C、若z是虚数，则 $z^{2} \geq 0$ D、若z是纯虚数，则 $z^{2} < 0$

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状不可能是（）

A、锐角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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9、已知点O是 $Δ A B C$ 内一点，满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = m \vec{O C}$ ， $\frac{S_{Δ A O B}}{S_{Δ A B C}} = \frac{4}{7}$ ，则实数m为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a = 1$ ， $4 S = b^{2} + c^{2} - 1$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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11、如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值是

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　)

A、 $\sqrt{5} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、3π D、4π

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13、已知 $i$ 为虚数单位， $z = \frac{4}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为(　　).

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ，向量 $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则m等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ，圆心在直线 $y = x + 1$ 上，截 $y$ 轴弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 半径小于 $10$ ，点 $D$ 在该圆上运动，点 $B (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $B$ 、 $D$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $B D$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|B M| \cdot |B N|$ 恒为定值．

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16、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A D = A A_{1} = 2$ ，点E在 $A B$ 上，且 $A E = 1$

(1)、求直线 $D_{1} E$ 与 $A_{1} C$ 所成角 $α$ 的余弦值．

(2)、在图中画出面 $A B C_{1}$ 与面 $A_{1} E C$ 的交线并求出该交线在长方体内部的长度．

(3)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E C$ 的距离．

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17、浙江省高考目前实行“ $3 + 3$ ”模式，其中一个“ $3$ ”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，另一个“ $3$ ”指的是考生需要在物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术中任选 $3$ 科，同学们的选科会出现 $35$ 种不同的组合．已知 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班选科要求是物理和化学双选，其他 $5$ 个科目任选 $1$ 科．

(1)、从所有选科组合中任意选取 $1$ 个，求该选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率；

(2)、假设甲、乙两人选择任意 $1$ 个选科组合是等可能的，求这两人中有且只有一人的选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率．

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18、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在的直线方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ 所在的直线方程为 $7 x + y - 12 = 0$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程

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19、已知空间三点 $A (0, - 2, 3)$ 、 $B (- 2, - 1, 6)$ 、 $C (1, 1, 5)$ .

(1)、若向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{A B}$ 平行，且 $|\vec{m}| = \sqrt{14}$ ，求 $\vec{m}$ 的坐标．

(2)、若向量 $\vec{n}$ 分别与 $\vec{C B}$ 、 $\vec{C A}$ 垂直，且 $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ ，求 $\vec{n}$ 的坐标．

(3)、求以 $C B$ 、 $C A$ 为邻边的平行四边形的面积．

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20、为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为 $13 .2cm$ 和13.36，女生的平均数和方差分别为 $15 .2cm$ 和17.56．

(1)、求样本中男生和女生应分别抽取多少人；

(2)、求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $n_{1}, \bar{x}, s_{1}^{2}, n_{2}, \bar{y}, s_{2}^{2}$ ．记总样本的平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，则 $s^{2} = \frac{1}{n_{1} + n_{2}} \{n_{1} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + n_{2} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}]\}$ ．

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