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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \log_{2} \frac{n + 2}{n + 1}$ ，给出定义：使数列 ${a_{n}}$ 的前k项和为正整数的k（ $k \in N^{*}$ ）叫做好数，则在 $[1, 2025]$ 内的所有“好数”的和为．

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2、设实数 $f (x) = 2 x \ln x$ ， $g (x) = a x - 4$ ， $\exists x \in (0, + \infty)$ 使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，则实数α的取值范围．

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3、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项是．

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4、若函数 $f (x) = - a \ln x + \frac{x^{2} - 1}{2}$ 有两个零点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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5、已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 8 = 0$ 的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l： $x + y + 4 = 0$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则 $d_{1} d_{2}$ 的最大值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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6、函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin x$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内的零点之和为（）

A、 $- π$ B、 $- 2 π$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、0

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7、已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点M在C上，若M到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、已知向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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9、已知i为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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10、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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11、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为6， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $F$ 是棱 $C D$ 上一动点，若 $P$ 在 $A F$ 上，使得 $E P$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则线段 $C P$ 的长度的最小值是.

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12、给定一个数列 $\{u_{n}\}$ ，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式 $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ （1）称为数项级数，其中， $u_{n}$ 称为数项级数（1）的通项或一般项，数项级数（1）也常写作 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 或 $\sum u_{n}$ ．数项级数（1）的前n项之和，记为 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ ，称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和．若数项级数（1）的部分和数列 $\{S_{n}\}$ 收敛于S（即 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作 $S = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ 或 $S = \sum u_{n}$ ．

(1)、求数项级数 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}} + \dots$ 的部分和；

(2)、判断数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 2} - 2 \sqrt{n + 1} + \sqrt{n})$ 是否收敛，若收敛，求数项级数的和；

(3)、若数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} e q^{n} (q \neq 0)$ 收敛，求实数q的取值范围．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的最大面积为1．点H在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 上运动，过H点作圆 $C_{1}$ 的切线交椭圆C于A、B两点．四边形 $D E S T$ 是椭圆C的外切矩形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、（ⅰ）设点D运动轨迹为 $C_{2}$ ，求 $C_{2}$ 的方程；
（ⅱ）延长 $O A$ 、 $O B$ 分别交轨迹 $C_{2}$ 于P、Q两点，求 $△ O P Q$ 的面积．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A P$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{10}$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C =45 °$ ．

(1)、若E为 $P B$ 的中点，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若三角形 $A C D$ 是钝角三角形，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的余弦值．

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15、甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．

(1)、从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；

(2)、现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．

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16、已知 $f (x) = x + \ln x$ ， $g (x) = m x^{2} + (2 m + 3) x + 1$ ， $m \in R$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有1个零点；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, 1)$ 处的切线与 $g (x)$ 只有一个公共点，求实数m的值．

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $F_{1}$ 关于渐近线的对称点为M且点M位于双曲线上，则双曲线的离心率是，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心横坐标是2，则圆的半径是．

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18、已知 $f (x) = x^{2} - \sin 2 x$ ，且 $\lim_{h \to 0} \frac{f (\frac{π}{2} + h) - f (\frac{π}{2})}{2 h} =$ ．

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19、 $C_{n}^{n} - C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} - \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{0}$ 的值为．

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，若点M在四边形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，N为 $P D$ 的中点， $P D = 4$ ， $∠ P D A = ∠ P D C = \frac{π}{3}$ ，则（）．

A、当M为 $A D$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、当 $M N ∥$ 平面 $P B C$ 时，点M的轨迹长度为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{4}$ 时，点M到 $A B$ 的距离可能为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、点Q是四棱锥外接球上的一点，则 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q D}$ 的最大值是 $8 + 8 \sqrt{2}$

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