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相关试卷

1、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3, A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{23}{50}$ B、 $\frac{23}{50}$ C、 $- \frac{32}{25}$ D、 $\frac{32}{25}$

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2、 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，解下列三角形，只有一解的时（）

A、 $B = 30^{°}, c = 4, b = 3$ B、 $B = 60^{°}, c = 4, b = 3.5$ C、 $C = 45^{°}, a = 2, c = \sqrt{3}$ D、 $C = 30^{°}, a = 3, c = 2 \sqrt{3}$

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，且 $\vec{F D} = 2 \vec{A F}, \vec{B G} = 2 \vec{G C}$ ，设 $\vec{E F} = \vec{a}, \vec{E G} = \vec{b}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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4、若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2, |\vec{c}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、2 B、8 C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、2或8

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5、 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知 $i$ 为虚数单位，计算 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2024} =$ （）

A、 $i$ B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $1$

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7、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $I$ ， $D \subseteq I$ ，若 $\forall x \in D$ ， $\exists t \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) < f (t)$ ．则称 $t$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的“Ω点”．

(1)、设函数 $f (x) = (2 + a x) \ln (1 + x) - 2 x$ ．
（i）当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上的最大“Ω点”；
（ii）若 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上不存在“Ω点”，求a的取值范围；

(2)、设 $D = \{1, 2, \dots, m\} (m \in N^{*})$ ，且 $f (1) = 0$ ， $f (x) - f (x - 1) \leq 1$ ．证明： $f (x)$ 在D上的“Ω点”个数不小于 $f (m)$ ．

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8、在平面直角坐标系中，已知 $О$ 为坐标原点，点 $W (x_{n}, y_{n})$ 为直线 $l$ ： $y = k x + m (k m \neq 0)$ 与椭圆 $C$ ： $2 n x^{2} + 4 n y^{2} = 1$ 的一个交点，且 $k = - \frac{x_{n}}{2 y_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .
（1）证明：直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切；
（2）已知直线 $l$ 与椭圆 $D$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $W$ 为 $A B$ 的中点.
（i）证明：椭圆 $D$ 的离心率为定值；
（ii）记 $△ O A B$ 的面积为 $S$ ，若 $b^{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{4 n}$ ，证明： $2 n \cdot \sin (S^{2}) > 1$ .

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9、袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．

(1)、求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；

(2)、若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分 $X$ 的分布列和数学期望．

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10、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = S_{n} - n + 3$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{S_{n} - n + 2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} ⩽ T_{n} < \frac{4}{3} (n \in N^{*})$ .

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11、双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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12、已知公比不为 $\pm 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，存在 $s, t \in N^{*}$ ，满足 $a_{s} a_{t} = a_{5}^{2}$ ，则 $\frac{4}{s} + \frac{1}{t}$ 的最小值为．

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13、已知随机变量 $X ~ N (1, 2^{2})$ ，则 $D (2 X + 1)$ 的值为.

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，当且仅当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 取得最大值.记数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前k项和为 $T_{k}$ ，（）

A、若 $S_{6} = S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 13$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 B、若 $S_{6} < S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 14$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 C、若 $S_{6} > S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 15$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 D、若 $\exists m \in N^{*}$ ， $S_{m} = 0$ ，则当 $k = 13$ 或14时， $T_{k}$ 取得最大值

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2}), x = - \frac{π}{4}$ 为 $f (x)$ 的零点， $x = \frac{π}{4}$ 为 $y = f (x)$ 图象的对称轴，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{18}, \frac{5 π}{36})$ 单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、13 B、11 C、9 D、7

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设甲： $d > 0$ ；乙： $\{S_{n}\}$ 是递增数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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17、已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ， $\tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = - \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β =$ （）

A、 $\frac{5π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3π}{4}$

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18、已知向量 $\vec{A B} = (9, x)$ ， $\vec{C D} = (x, 1)$ ，若 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 同向共线，则 $x =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 3$ 或3 D、0或3

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19、“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且 $P Q / / O A$ ．

(1)、求扇形空地AOB的周长和面积；

(2)、当 $O Q = 50$ 米时，求PQ的长；

(3)、综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区 $△ O P Q$ 的面积尽可能的大．设 $∠ A O P = θ$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD， $P D = λ C D$ ，点E在棱PC上．

(1)、若底面ABCD是边长为2的正方形， $P A / /$ 平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由；

(2)、若底面ABCD是梯形，且 $A B / / C D, A B = \frac{1}{2} C D$ ，点E是PC的中点（图2），证明 $B E / /$ 平面PAD；

(3)、在（1）的条件下是否存在实数 $λ$ ，使三棱锥 $E - B P D$ 体积为 $\frac{4}{3}$ ，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由；

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