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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 10$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $B C$ 、 $A C$ 边上的两条中线 $A M$ 、 $B N$ 相交于点 $G$ .

(1)、求 $B N$ 、 $A M$ 的长；

(2)、求 $∠ M G N$ 的余弦值.

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2、已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3, (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值．

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3、已知 $\tan (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ， $\tan (\frac{π}{12} + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan (α - 2 β) =$ ．

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4、若 $z \in C$ 且 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1 - 2 i|$ 的最小值是．

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5、如图所示，已知角 $α, β (0 < α < β < \frac{π}{2})$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A, B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O M$ 与单位圆交于点 $C$ ，则（）

A、 $∠ A O B = β - α$ B、 $|O M| = cos \frac{β - α}{2}$ C、点 $C$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2}, sin \frac{α + β}{2})$ D、点 $M$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2}, sin \frac{α + β}{2} sin \frac{β - α}{2})$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(a + b) : (b + c) : (c + a) = 5 : 6 : 7$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ B、 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若 $a = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $6 \sqrt{15}$ D、若 $△ A B C$ 外接圆半径是 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} = \frac{16}{5}$

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7、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + 1 = 0 (- 2 < b < 2, b \in R)$ 的两根，则下列说法中正确的是（）

A、 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ B、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = 1$ D、若 $b = 1$ ，则 $z_{1}^{3} = z_{2}^{3} = 1$

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8、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 $logo$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}$ ，则有 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ .设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ ， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{O A} + \vec{2 O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 2 : 3$ C、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5 π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，则 $\tan ∠ B A C \cdot \vec{O A} + \tan ∠ A B C \cdot \vec{O B} + \tan ∠ A C B \cdot \vec{O C} = \vec{0}$

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9、分别以锐角三角形 $A B C$ 的边AB，BC，AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为 $\sqrt{3} : \sqrt{6} : 2$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$

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10、已知正三角形 $A B C$ 的边长为2，动点 $P$ 满足 $|P C| = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $3 - 2 \sqrt{3}$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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11、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 为不共线向量，且 $\overset{⃑}{A B} = 2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{B C} = - \overset{⃑}{a} + 4 \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{C D} = 3 (\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b})$ ，则（）

A、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线 B、 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线 C、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 D、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 1), \vec{c} = (m, 2)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、任意实数

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13、复数 $z = (2 - i) (|4 - 3 i| + i)$ 的共轭复数为（）

A、 $11 + 3 i$ B、 $51 + 23 i$ C、 $9 + 3 i$ D、 $49 + 23 i$

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14、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长 $A B = 2$ ， M为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求三棱锥 $D - A M C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $E$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $N$ ，使 $E N / /$ 平面 $A M C$ ？说明理由．

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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16、在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这里 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ．已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 2 A C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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17、定义运算： $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \geq b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = 3^{- x} \otimes 3^{x}$ 的值域为．

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18、 ${(0.25)}^{- 0.5} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - 625^{0.25} =$ .

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (cos α, sin α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \sqrt{3}$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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20、设函数 $f (x) = x^{2} + m x + n^{2}$ ， $g (x) = x^{2} + (m + 4) x + n^{2} + 2 m + 4$ ，其中 $x \in R$ ，若对任意 $t \in R$ 及任意 $n \in R$ ， $f (t)$ 和 $g (t)$ 中至少有一个为非负值，则实数 $m$ 的最大值是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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