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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2、已知 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 1$ ”是“ $(a - 1) (b - 1) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} - a_{n} > a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“差增数列”；若对于差增数列 $\{a_{n}\}$ ，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \geq k n$ 成立；②存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} = k n$ 成立，则称数列 $\{k n\}$ 为差增数列 $\{a_{n}\}$ 的“下限数列”.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是差增数列，若 $a_{n} \in \{x |x 为小于 20 的质数\}$ ，试写出项数为5的差增数列 $\{a_{n}\}$ ；

(2)、已知等差数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为d的正项数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{c_{n}\}$ 是公比为 $q (q \in N^{*})$ 的非常数数列，且 $c_{1} = 3$ ；
（ⅰ）试判断数列 $\{n S_{n}\}$ 是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若 $b_{1} = 2$ ，且 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列，则是否存在以数列 $\{\frac{2 d}{q} n\}$ 为“下限数列”的差增数列 $\{\frac{c_{n}}{S_{n}}\}$ ？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由.

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (3, t)$ 在C上，且 $|A F| = \frac{7}{2}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 8$ .
（ⅰ）求证：直线 $M N$ 过定点P；
（ⅱ）设直线 $M N$ 的斜率为k，过点P，且斜率为 $- \frac{2}{k}$ 的直线交C于R，S两点，求四边形 $M R N S$ 面积的最小值.

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5、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $P$ 在 $l$ 上，点 $Q$ 在 $C$ 上.

(1)、若一条光线沿着直线 $l$ 从右上往左下射出，经 $y$ 轴反射后，与 $C$ 相切，求 $r$ ；

(2)、若 $r = 1$ ， $R (2, 2)$ ，求点 $P$ 的坐标，使 $|P R| + |P Q|$ 有最小值，并求出这最小值.

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6、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $∠ S A C = 90 °$ ， $A D = A S = 2 C D = 2$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A C S$ ；

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角的余弦值.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - 2 a x^{2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $a x - 3 y - 2 = 0$ 垂直，求a.

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8、椭圆有如下结论：“过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作该椭圆的切线，切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .”设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ 时， $△ M O N$ （O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2} = - \frac{1}{3}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{9}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前n项积的最大值为.

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10、已知点 $P (2, - \sqrt{3})$ 和直线 $l : x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ ，则点P到l的距离为.

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11、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，P，Q分别是线段 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 上的动点，M是线段 $P Q$ 的中点，且满足 $P Q = 2 \sqrt{6}$ ，过 $P Q$ 作平面 $α$ ，使得 $B_{1} C / / α$ ，则（）

A、当 $\vec{A_{1} Q} = 2 \vec{Q D_{1}}$ 时， $A M ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、当P为线段 $A B$ 中点时，直线 $B_{1} C$ 到平面 $α$ 的距离为 $\frac{10 \sqrt{11}}{11}$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为 $22 - 4 \sqrt{10}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且对任意m， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + 1$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2025} = a_{2020} + a_{6} - 1$ C、 $a_{1011} + a_{1013} = a_{2024}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列

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13、已知曲线 $C : (3 - m) x^{2} + (m + 1) y^{2} = (3 - m) (m + 1)$ ，则（）

A、当 $m = 1$ 时，C是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆 B、当 $- 1 < m < 1$ 时，C是焦点在x轴上的椭圆 C、当 $m > 3$ 时，C是焦点在x轴上的双曲线 D、当 $m = - 1$ 时，C是两条直线

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14、已知斐波那契数列 $\{F_{n}\}$ 满足 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .卢卡斯数列 $\{L_{n}\}$ 满足 $L_{1} = 1$ ，且 $L_{n + 1} = F_{n} + F_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $F_{2025} =$ （）

A、 $\frac{2}{5} L_{2022} + \frac{1}{5} L_{2024}$ B、 $\frac{1}{3} L_{2023} + \frac{1}{5} L_{2025}$ C、 $\frac{1}{5} L_{2024} + \frac{1}{5} L_{2026}$ D、 $\frac{1}{3} L_{2025} + \frac{1}{7} L_{2027}$

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，一条渐近线方程为 $y = - \frac{\sqrt{10}}{2} x$ ，过 $F_{1}$ 作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则 $\frac{|F_{1} A|}{|A B|} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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16、已知在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = 3 \vec{N D}$ ，则直线 $A M$ 和 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$

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17、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 5$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + m = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 恰有三条公切线，则 $m =$ （）

A、 $- 72$ B、 $- 12$ C、 $3$ D、 $5$

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18、已知 $A (- \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ ， $B (1, \frac{1}{2}, 0)$ ， $C (0, 1, 0)$ ， $D (1, \frac{1}{2}, 1)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{9}, - \frac{1}{18}, \frac{1}{9})$ B、 $(- \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, - \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{3}{38}, - \frac{3}{76}, \frac{3}{38})$ D、 $(- \frac{3}{38}, \frac{3}{76}, - \frac{3}{38})$

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 64$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、51 B、 $- 13$ C、 $- 205$ D、 $- 256$

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20、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、 $4 \ln 2$ B、 $\frac{4}{\ln 2}$ C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、 $\frac{1}{2 \ln 2}$

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