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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - 2}{x - 1}$ ， a为常数.

(1)、若 $a = 2$ ，解关于x的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < x - a$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、若椭圆 $E$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2)、若直线 $l_{1}, l_{2}$ 均过点 $P (p_{n}, 0) (0 < p_{n} < a, n \in N^{*})$ 且互相垂直，直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点， $M, N$ 分别为弦 $A B$ 和 $C D$ 的中点，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $Q (t_{n}, 0)$ ，设 $p_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ .
①求 $t_{n}$ ；
②记 $a_{n} = |P Q|$ ，求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [0, 2], f (x) \geq - 12$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} 、 z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)、设 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足方程 $4 z_{1} + (1 - i) z_{2} = 9 - 5 i$ ，求 $z_{1} 、 z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 所对的向量分别是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，若向量 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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5、某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中
$x$ 的值；

(2)、求理科综合分数的中位数；

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6、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为A，若集合A为有限集，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，存在 $x_{3} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则满足条件的集合A的个数为．

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7、数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为．

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8、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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9、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ C、直线 $M N ⊥$ 平面 $A D N$ D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ .

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的奇函数，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} x, 0 \leq x < 1 \\ - x + 2, 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 在 $(- 2, 2)$ 上的解集为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, 2)$

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11、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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12、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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14、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = {(- 1)}^{k} \frac{m (x - 1)}{x + 1} (m \in R, k \in Z)$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，讨论函数 $h (x)$ 的单调性；

(2)、当 $k$ 为奇数时，
（ⅰ）若函数 $h (x)$ 在其定义域内是增函数，求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）设 $F (x) = x^{2} - p x + 2 - q f (x)$ （ $p$ 、 $q$ 均为实数，且 $q > 0$ ），若函数 $F (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，记 $x_{0}$ 为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的平均数，证明： $F^{'} (x_{0}) > 0$ （其中 $F^{'} (x)$ 是 $F (x)$ 的导函数）．

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15、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在 $E$ 上且 $M F_{2} ⊥ x$ 轴．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，若 $△ O A B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ，（ $O$ 为坐标原点），求 $|\vec{O C}| \cdot |\vec{A B}|$ 的最大值．

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16、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}$ 与1的等差中项等于 $S_{n}$ 与1的等比中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 5}{(\sqrt{S_{n}} + 1) \cdot \sqrt{S_{n}} \cdot 2^{\sqrt{S_{n}}}} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；
（ⅰ）求证： $T_{n} < 1 (n \in N^{*})$ ；
（ⅱ）若数列 $\{\frac{1}{1 - T_{n}}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $λ \cdot M_{n} \geq 4 n^{2} - 14 n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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17、如图，正方形 $A B C D$ 所在的平面与平面 $A B N M$ 垂直，点 $P$ 为 $A D$ 的中点， $A M ∥ B N$ ， $∠ A B N = 90 °$ ， $A M = A B = \frac{1}{2} B N = 2$ ．

(1)、证明： $N C / /$ 平面 $A M D$ ；

(2)、求平面 $P N C$ 与平面 $A M D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $P N C$ 的距离．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 a - c = 2 b \cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c = a + 1$ ， $b = \sqrt{7}$ .
（ⅰ）求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）求 $\cos (A - 2 B)$ 的值.

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19、设 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数．当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} k (x + 2), 0 < x \leq 1, \\ - \frac{1}{2}, 1 < x \leq 2, \end{array} (k > 0)$ ．若在区间 $(0, 9]$ 上，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有5个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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20、若曲线 $y = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n}$ ，则 $\log_{2025} x_{1} + \log_{2025} x_{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{2025} x_{2024} =$ ．

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