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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 6, 2)$ ， $\vec{b} = (m, m + 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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2、设集合 $A = {x \in N ∣ 3 \leq x < 6}, B = \{2, 3, 4, 8\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{2, 8\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 5, 8\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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3、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”.

(1)、试判断 $g (x) = |x|$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 1$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + x + 1 ， x \leq 1 \\ x - 1 ， x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“3重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ . $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ ，若 $h (x)$ 为 $f (x) = \frac{{(\cos x + \sin x + 1)}^{2}}{8 + 8 \sin x}$ (其中 $\sin x \neq - 1$ )的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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4、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对 $\forall x \in D$ ，都有 $f (2 m - x) + f (x) = 2 n$ ，则称函数 $f (x)$ 为中心对称函数，其中 $(m, n)$ 为函数 $f (x)$ 的对称中心.比如，函数 $y = \frac{1}{x} + 1$ 就是中心对称函数，其对称中心为 $(0, 1)$ .

(1)、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，求 $f (0), f (1)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3}$ 为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；

(3)、已知函数 $f (x) = \frac{c}{2^{x + 1} + 1}$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a, b$ 满足 $\frac{a + b}{2} \geq f (- 2024) + f (- 2023) + f (- 2022) + \dots + f (2020) + f (2021) + f (2022)$ ，且不等式 $t (a + 4047 c) b \leq a^{2} + 4047 a c + 2 b^{2}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围

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5、某企业原有 200 名科技人员，年人均工资 $a$ 万元（ $a > 0$ ），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N$ 且 $50 \leq x \leq 80 ）$ ，调整后研发人员的年人均工资增加 $(2 x) %$ ，技术人员的年人均工资调整为 $a (m - \frac{x}{10})$ 万元.

(1)、若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?

(2)、为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 $m$ ，满足以上两个条件，若存在，求出 $m$ 的范围；若不存在，说明理由.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + a$ ， $f (- \frac{π}{12}) = 1$ ，

(1)、求 $a$ 的值以及 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、已知 $g (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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7、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 3 x - 1 > 0$ 的解集是 $A = \{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设集合 $B = \{x |2 m < x < 2 - m\}$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、已知 $\sin (x + y) = x + \frac{1}{x} - 1$ ，则 $|x y|$ 的最小值为.

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9、已知 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ ，则 $x =$ .

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10、设 $s, t > 0$ ，若满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x - t|} + \sqrt{|x + t|} = 2 s$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = s$ ，则下列选项中，一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 0$ B、 $s - t = \frac{24}{25}$ C、 $\frac{t}{s} = \frac{4}{5}$ D、 $s \cdot t = \frac{64}{125}$

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11、已知定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足：对于每一个实数 $x$ ，都有 $f (x + \frac{π}{4}) = 1 + \sqrt{2 f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为( )

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{4}$ ，则实数 $ω$ 的取值个数最多为（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{16 a + 9 b}{a b}$ 的最小值是（）

A、49 B、50 C、51 D、52

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14、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots$ $+ f (2024)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、0 C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ ，且对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 3, - 2]$ D、 $[- 3, - 2]$

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16、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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17、命题“ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是．

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18、设点 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ ，若直线l过点 $P (1, 1)$ 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - 4$ B、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - \frac{1}{4}$ C、 $- 4 \leq k \leq \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4} \leq k \leq 4$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, x \leq 0 \\ - x + 2, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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20、已知直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + 2 y - 5 = 0$ ，点M，N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，点 $A (4, 3)$ ，则 $△ A M N$ 周长的最小值是（）

A、4 B、6 C、9 D、12

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