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相关试卷

1、已知直线 $l_{1} : 2 x + y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : x - 2 y = 0$ 相交于点 $A$ .

(1)、若直线 $m$ 经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距为2，求直线 $m$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 关于直线 $l$ 对称，求直线 $l$ 的方程.

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2、已知四边形 $A B C D$ ， $△ A B D$ 是以 $2 \sqrt{2}$ 为边长的等边三角形， $B C = C D = \sqrt{6}$ ，现把 $△ A B D$ 沿着对角线 $B D$ 进行翻折，使得点 $A$ 在面 $B C D$ 上的投影落在点 $C$ 处，则此时三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为.

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3、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上一点， $Q$ 是直线 $l : x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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4、已知向量 $\vec{O A} = (1, - 1, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 2, - 1)$ ，则向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量为.

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 $2$ ， $P$ 、 $Q$ 两点分别在线段 $A C$ 和线段 $B C$ 上运动，则（）

A、 $B D_{1} ⊥ B_{1} P$ B、三棱锥 $A_{1} - C_{1} D_{1} P$ 的体积是定值 $\frac{8}{3}$ C、直线 $B_{1} P$ 与直线 $A_{1} D_{1}$ 所成角的范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $△ B_{1} P Q$ 周长的最小值为 $2 \sqrt{3} + 2$

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6、过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的最大距离为2 B、当直线 $l$ 斜率为1时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ C、弦 $A B$ 中点的轨迹长度为 $2 π$ D、 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为 $[- 9, - 1]$

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7、下列说法正确的是（）

A、数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{8}$ 的方差为4，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{8} + 1$ 的方差为16 C、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D、若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则 $P (A \cup B) = 0.7$

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8、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知点 $P$ 到点 $A (1, 1)$ 的距离和它到直线 $l : x + y - 4 = 0$ 的距离的比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $W$ ，则下列选项中错误的是（）

A、 $W$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、 $W$ 关于直线 $y = - x$ 对称 C、 $|O P|$ 最大值为4 D、 $|O P|$ 最小值为 $\sqrt{2}$

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9、在空间直角坐标系中， $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 2, 0)$ ， $C (0, 0, 3)$ ，向量 $\vec{O M} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ 且 $x + 2 y + 3 z = 1$ ，则 $|\vec{O M}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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10、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|O P| =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$

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11、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 靠近 $C_{1}$ 的四等分点，点 $B$ ， $E$ ， $F$ 所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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12、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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13、已知两条直线 $l_{1} : 2 x + a y - 1 = 0$ ， $l_{2} : a x + 2 y + 3 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若直线 $l : a x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、已知 $z (2 - i) = 1 - i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ ，圆 $O_{1}$ 经过 $A (3, 5)$ ， $B (2, 4)$ 两点，且圆心 $O_{1}$ 在直线 $4 x - 3 y = 0$ 上.

(1)、求圆 $O_{1}$ 的标准方程.

(2)、写出圆 $O$ 与圆 $O_{1}$ 的一条公切线方程.（不需要写出解题过程）

(3)、已知点 $M (8, 0)$ ，是否存在定点 $T$ ，对于经过点 $T$ 且与圆 $O$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点的任意直线，恒有 $∠ P M O = ∠ Q M O$ ？若存在，求出点 $T$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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17、如图1，在高为 $2 \sqrt{7}$ 的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，沿平面 $B_{1} C D$ 切割后得到四棱锥 $C - A B B_{1} D$ ，如图 $2 ， E ， F$ 分别为棱 $C B ， C D$ 的中点， $A B = A C = 3 ， B_{1} C$ $= 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} D$ ．

(2)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $B B_{1} C$ ．

(3)、求直线 $E F$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的正弦值．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b cos (A - C) = 2 \sqrt{3} c sin A cos B + b cos (A + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} + 4)$ ，求 $a + c$ 的最小值.

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19、已知圆 $M : x^{2} - 4 x + y^{2} - 4 y + m = 0$ .

(1)、求m的取值范围.

(2)、已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $M$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ .
①求 $m$ ；
②求过点 $(4, - 2)$ 的圆 $M$ 的切线方程.

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20、已知直线 $l_{1} : a x - 2 y - 3 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 4 y + 9 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求a；

(2)、若 $l_{1}$ 在x轴上的截距与 $l_{2}$ 在y轴上的截距相等，求a；

(3)、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离.

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