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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、已知点 $A (0, - \sqrt{3}), B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{8}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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4、如图，已知 $B C = 3$ ， $D, E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的两点，且满足 $∠ B A D = ∠ C A E, \frac{B D \cdot B E}{C D \cdot C E} = \frac{1}{9}$ ，则当 $∠ A C B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积等于.

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5、若 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + a x$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为．

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6、已知随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，若 $P (3 \leq X \leq 5) = 0.3$ ，则 $P (X \leq 1) =$ ．

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} > 0$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ ，则 $q = \pm 1$ B、若 $a_{2} = ln a_{1} + ln a_{3}$ ，则 $q < 0$ C、若 $2 a_{3} = e^{a_{1}} + e^{a_{2}}$ ，则 $q > 1$ D、若 $0 < a_{1} < 1$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = ln (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$ ，则 $q > 1$

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8、如图抛物线 $Γ_{1}$ 的顶点为 $A$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为 $2$ ；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为 $B$ ，焦点也为 $F$ ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为 $3$ ． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点，分别过 $P, Q$ 作直线与两准线垂直，垂足分别为 $M, N, S, T$ ，过 $F$ 的直线与封闭曲线 $A P B Q$ 交于 $C, D$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $|A B| = 5$ B、四边形 $M N S T$ 的面积为 $20 \sqrt{6}$ C、 $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ D、 $|C D|$ 的取值范围为 $[\frac{5}{2}, \frac{25}{6}]$

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9、已知 $a > e, b > e$ ，且 $a (1 + ln b) = (1 + e b) ln a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $ln a - ln b < 1$ B、 $a e < b$ C、 $a b < e^{3}$ D、 $2^{ln a} + 2^{ln b} > 6$

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10、方程 $\cos (\frac{π}{2} \sin x) = \sin (\frac{π}{2} \cos x)$ 在 $[0, π]$ 上的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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11、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $2$ C、 $\frac{17}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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12、若 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2cos \frac{π}{3},2sin \frac{π}{3})$ ，下列正确的是（）

A、 $\vec{b} / / (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ $在$ $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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13、若直线 $l : y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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14、若复数 $z$ 的实部大于0，且 $z (\bar{z} + 1) = 6 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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15、已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 3, x \in Z\}$ ， $B = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$

(3)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = C D = 2 ， B C = 3 ， P C = 2 \sqrt{3} ， E 为 P B$ 的中点， $C D ⊥ B C$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是直角梯形.

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 5 x + b$ 在 $x = 5$ 处取得极小值，且极小值为 $- 33$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最值.

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19、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2025} =$ ．

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20、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 $1$ 行开始，第 $n$ 行从左至右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2$ ， $a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ ， $\dots$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，依次去掉每一行中所有的 $1$ 构成的新数列 $2$ 、 $3$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $10$ 、 $5$ 、 $\dots$ ，记为 $\{b_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的有（）
$\begin{array}{l} \begin{matrix} 第 1 行 & 1 & 1 \\ 第 2 行 & 1 & 2 & 1 \\ 第 3 行 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 第 4 行 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 第 5 行 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \dots & \dots \end{matrix} \end{array}$

A、 $S_{10} = 1022$ B、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n + 2} - 2}$ C、 $b_{57} = 66$ D、 $T_{57} = 4150$

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