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相关试卷

1、如图，在四面体ABCD中， $A D ⊥$ 平面BCD， $∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = B D = C D = 4$ ， M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 $A Q = 3 Q C .$

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $B C D;$

(2)、求平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值.

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2、已知圆C经过点 $A (2, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，并且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当 $△ A B D$ 的面积为4时，求直线l的方程.

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3、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{1} + a_{4} = 9.$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列， $b_{n} = {log}_{2} a_{n} + 1$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $S_{n} .$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点 $F_{1}$ ，则双曲线C的离心率为.

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5、已知两个等差数列2，6，10， $\dots$ ， 118及2，8，14， $\dots$ ， 116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

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6、已知 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x的值为.

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7、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} (x ， y \in [0 ， 1])$ ，下列正确的有（）

A、当 $x = 1$ 时，DP与AC所成角为 $90^{\circ}$ B、当 $y = 1$ 时，平面ADP与平面BCP所成角的最大值为 $60^{\circ}$ C、当 $x^{2} + y^{2} = 1$ 时，DP与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $45^{\circ}$ D、当 $x + y = 1$ 时，点P到直线 $A C$ 距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且满足 $a_{n} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots a_{n}) = 4$ ，下列正确的有（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{2} < 2$ C、 ${a_{n}}$ 为等比数列 D、 ${a_{n}}$ 为递减数列

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9、已知方程： $(m - 1) x^{2} + (5 - m) y^{2} = (m - 1) (5 - m) ($ 其中m为参数 $)$ ，下列正确的有（）

A、若 $m = 1$ ，则方程表示y轴 B、若 $m = 3$ ，则方程表示圆 C、若 $m < 1$ ，则方程表示椭圆 D、若 $m > 5$ ，则方程表示双曲线

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10、“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛 $($ 俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， $\dots)$ ，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为（）（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ )

A、21 B、20 C、19 D、18

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11、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与曲线 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 | y |$ 恰有4个公共点，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2或 $2 + \sqrt{2}$ D、2或 $2 \sqrt{2}$

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12、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $O$ 为 $A B C D$ 的中心，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则 $A_{1} O$ 与 $A C$ 所成角为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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13、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ 相切于点 $M$ ，则光线从 $P$ 到 $M$ 经过的路程为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{11}$

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14、已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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15、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 、 $\vec{a} - \vec{b}$ 、 $\vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{c}$ 、 $\vec{b} + 2 \vec{a}$ 、 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ 、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ 、 $\vec{c}$ D、 $\vec{b} + \vec{c}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{b} - \vec{c}$

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16、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{7} = 8$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、52 B、104 C、208 D、416

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17、两条平行直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 与 $\sqrt{3} x - y + 3 = 0$ 间的距离为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、1

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18、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + (a + 1) x^{2} + a x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为.

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19、已知集合 $A = \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ，集合 $B_{m} = {x | \frac{x^{2} - m}{n} \in Z, x 、 m \in A}$ ， $| B_{m} |$ 表示集合 $B_{m}$ 元素的个数.

(1)、若 $n = 5$ ，求 $B_{1}$ ， $B_{2};$

(2)、若 $n = 97.$
①求 $|B_{m}|$ 的最大值；
②证明： $|B_{1} |+| B_{2} |+ \dots +| B_{n - 1}| \geq 96.$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x} + b (x^{2} - 2 x) + a ($ 其中a，b是常数 $) .$

(1)、当 $b = 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 在 $x \in (0, 2)$ 上恒成立，求实数 a的取值范围；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 的图象是一个轴对称图形；

(3)、若当 $a \in (0, 1)$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上有零点，求实数b的取值范围.

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