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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ， $P B ⊥ C D$ ．

(1)、证明： $B C = B D$ ；

(2)、若 $P A = 4 \sqrt{2}$ ， $P B = 4$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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2、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(b - a) \sin A = (b + c) (\sin B - \sin C)$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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3、已知集合 $A, B \subseteq {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，则满足 $A \subseteq B$ 的有序集组 $(A, B)$ 的个数为．（用数字作答）

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4、点M在椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点， $| O N | = 4$ ，则 $∣ O M | =$ ．

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5、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为．

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6、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2}}$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$ B、 $| 3 x + 4 y - 12 |$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ C、 $\sqrt{5 - 2 x} + \sqrt{13 - 6 y}$ 的最小值是 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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7、下列说法正确的有（）

A、 $69, 63, 65, 55, 71, 73, 77, 78, 83, 82$ 这组数据的第 $80$ 百分位数是 $80$ B、若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ，则 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{n}$ 的方差为1 C、若变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 2$ D、若变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (100, σ^{2})$ ， $P (100 < ξ \leq 113) = 0.3$ ，则 $P (ξ < 87) = 0.2$

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{x y}{b^{2}} = - 1$ 无公共点，则曲线 $C_{1}$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(1, \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{3}, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$ 在 $[- m, m]$ 上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ B、 $[\frac{π}{2}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x + 1) (x - a)$ ．若 $\forall x, y \in R$ ， $f (x + | y |) \geq$ $f (x - | y |)$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $[0, + \infty)$

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11、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $π$

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12、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，若 $a_{2} + a_{10} = 6$ ， $a_{6} a_{8} = 15$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $\tan \frac{θ}{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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14、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 是 $x = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、复数 $z = - 2 i (- 2 + i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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16、已知 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 6$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (1) > 0$

(2)、若不等式 $f (x) > b$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点， $C$ 为短轴的一个端点， $△ F_{1} F_{2} C$ 是直角三角形.

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、若直线 $y = x - 3$ 恰好与椭圆 $E$ 相切，求椭圆 $E$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，设直线 $l$ 不过点 $A (2, 1)$ 且与 $E$ 交于两点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 0$ ，求 $\frac{| \vec{A M} | | \vec{A N} |}{| \vec{A M} - \vec{A N} |}$ 的最大值.

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18、已知 $M (0, \sqrt{2})$ 和 $N (\sqrt{3}, 1)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点H在椭圆C上， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C的两焦点，且 $∠ F_{1} H F_{2} = 120 °$ ，求 $△ F_{1} H F_{2}$ 的面积；

(3)、过点 $P (\sqrt{3}, 0)$ 的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明： $\frac{1}{| P A |^{2}} + \frac{1}{| P B |^{2}}$ 为定值．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a}{x} (a \in R)$ .
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - y - 1 = 0$ 平行，求 $a$ 的值；
（2）在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（3）当 $a = 1$ ，且 $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) \leq 1$ .

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为等腰直角三角形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， E，F分别为CD，PD的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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