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相关试卷

1、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求λ的值．

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2、为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试估计消费金额的84%分位数.

(2)、若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.

(3)、为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.

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3、已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均为2， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，设棱 $A_{1} D_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，若底面 $A B C D$ 内一动点 $P$ 满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，则 $P$ 的运动轨迹长度为.

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4、已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为．

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5、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B D F$ B、对于任意 $λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $F - B D E$ 的体积是定值 C、存在 $λ \in [0, 1]$ ，使得 $A C$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $\vec{F D} \cdot \vec{F B}$ 的取值范围为 $[3, 4]$

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6、下列说法正确的是（）

A、任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B、直线 $2 x - y - 3 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $- 3$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $3$ D、点 $(0, 2)$ 关于点 $(1, 3)$ 的对称点为 $(2, 4)$

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7、已知点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆 $M : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\frac{| P F |}{| P Q |}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8、已知 $A$ 与 $B$ 是相互独立的随机事件，且 $P (A) = \frac{4}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9、设 $F_{1} (- 5, 0)$ ， $F_{2} (5, 0)$ 为平面上两个定点，动点 $P (x, y)$ 满足 $||P F_{1}| - |P F_{2}|| = 10$ ，则动点P的轨迹为（）

A、直线 B、两条射线 C、椭圆 D、双曲线

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10、复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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11、抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 16$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2^{n} b_{1} + 2^{n - 1} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2 b_{n} = (n + 1) 2^{n + 1} - 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、将数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 各取前 $100$ 项，按从小到大排成一个新的数列 $\{d_{n}\}$ ，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求 $\{d_{n}\}$ 的前 $106$ 项和

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13、已知函数 $f (x) = 2 x - e^{2 x} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：对任意的 $x \in [0, + \infty), f (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{2} x^{2} - sin x$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + 4 a e^{x} (a \in R)$ 有且仅有一个零点，证明：方程 $4 x^{2} + 8 a x + 3 a = 0$ 无实数根.

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14、人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型 $A, B, C$ .每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知 $A, B, C$ 三款模型通过算法设计评审的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}$ ，通过工程部署验收的概率依次为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $A, B, C$ 三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；

(2)、若已知 $A, B, C$ 三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为 $A$ 的概率；

(3)、经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后， $A, B, C$ 三款模型能成功上线的数量为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D$ $/ /$ $B C, P A = 2, A B = 1$ ， $B C = 1, A D = 2, M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D$ .
①求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的正弦值；
②在线段 $B D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $D$ 到平面 $P A Q$ 的距离为1？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、已知点 $M (\sin x \cos x, \sin^{2} x)$ ， $N (2, 2 \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，函数 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O N}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及最小正周期

(2)、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $A B = 2 A C$ ， $B D = 2$ .若 $f (A) = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积

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17、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在 $(x_{2}, g (x_{2}))$ 点处的切线平行，则 $2 x_{1} + g (x_{2}^{2}) =$ 若 $a > 0$ ， $a x^{a - 1} g (x) \leq f (x)$ 对于任意 $x > 1$ 都成立，则 $a$ 的最大值为 .

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 位于第二象限）， $M$ 为 $B F$ 的中点，直线 $O M$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线，且 $|B F| = 4 |A F|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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19、已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则其体积为.

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（）

A、点 $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时， $M P ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、点 $P$ 为 $C_{1} D_{1}$ 中点时，过 $B, M, P$ 三点作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，则截面周长为 $2 \sqrt{5} + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ ，则四面体 $O - B_{1} C_{1} C$ 的外接球的表面积为 $2 π$ D、当 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动时，四面体 $P - B D M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{4}$

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