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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $2 \vec{a} + y \vec{b} = x \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（　　）

A、 $x = 2$ ， $y = - 3$ B、 $x = - 2$ ， $y = 3$ C、 $x = 2$ ， $y = 3$ D、 $x = - 2$ ， $y = - 3$

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2、样本数据6，8，4，5，12的中位数为（　　）

A、5 B、6 C、8 D、9

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3、如图，设正三角形 $A B C$ 的边长为1. $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 为 $B C$ 边上的 $n + 1$ 等分点， $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{n}$ 为 $A C$ 边上的 $n + 1$ 等分点，

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \vec{O B}|$ 的值；

(2)、当 $n = 2023$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \dots + \vec{O P_{2023}} + \vec{O B}|$ 的值；

(3)、当 $n = 9$ 时，求 $\vec{O C} \cdot \vec{C P_{i}} + \vec{O C} \cdot \vec{C Q_{j}}$ 的值（用 $i, j$ 表示）.
（参考公式： $1 + 2 + \dots + n = \frac{(1 + n) n}{2}$ ）

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4、《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

(1)、在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比；

(2)、若 $A B = C C^{'} = 4$ ， $B C = 2$ ：
①在右图（图二）中，求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 的高.
②求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 外接球的体积.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 c - b = 2 a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的范围.

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6、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $a^{2} + c^{2} - \sqrt{2} a c = b^{2}$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $A = 75 °$ ， $b = 2$ ，求边c和 $△ A B C$ 的面积.

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7、已知：在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， P是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ ，则实数m的值为

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8、若 $m$ 为实数，且复数 $(m^{2} - 3 m + 2) + (m^{2} + m - 2) i$ 为纯虚数，则 $m$ 的值为．

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9、第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， $O_{3}$ 互相过圆心，A，B为圆 $O_{1}$ 上两点，且 $O_{1} A ⊥ O_{1} B$ ，点C在圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{3}$ 上运动．若 $\vec{O_{1} C} = λ \vec{O_{1} A} + μ \vec{O_{1} B}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则下列选项可能成立的是（）

A、 $λ = - 2$ B、 $λ μ = 3$ C、 $λ - 2 μ = - 4$ D、 $λ^{2} + 2 μ^{2} = 5$

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10、如图， $A B$ 是圆锥 $S O$ 的底面圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是底面圆 $O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的动点，点 $M$ 是母线 $S B$ 上一点，已知圆锥的底面半径为 $1$ ，侧面积为 $4 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、该圆锥的体积为 $\sqrt{15} π$ B、该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 $\frac{π}{2}$ C、三棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、若 $B M = 1$ ，则从点 $B$ 出发绕圆锥侧面一周到达点 $M$ 的最短长度为 $5$

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11、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，若 $a = 1$ ， $sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $b$ 的值可能为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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12、“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中， $A B = 4, A_{1} B_{1} = 2$ ，若从中取出 $74 kg$ 米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（）

A、 $38 kg$ B、48kg C、57kg D、 $112 kg$

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13、矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{5}$ m B、 $\frac{9 \sqrt{15}}{5}$ m C、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$ m D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ m

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $B = 60^{\circ}$ ， $b = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6$

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15、已知向量 $m$ 和 $n$ 满足 $\vec{m} = (2, 1), \vec{n} = (3, 5)$ ，则向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 在向量 $\vec{m}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{16}{5} \vec{m}$ B、 $- \frac{16}{5} \vec{m}$ C、 $\frac{18}{5} \vec{m}$ D、 $- \frac{18}{5} \vec{m}$

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16、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = 2 \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{2}, A = 60^{\circ}$ ，则角 $B =$ （）

A、 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ B、 $135^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $45^{\circ}$

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17、如图，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是水平放置的平面四边形 $A B C D$ 用斜二测画法画出的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则原四边形 $A B C D$ 的周长为（）

A、 $4 \sqrt{3} + 8$ B、20 C、12 D、 $8 \sqrt{2}$

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18、向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{a}, \vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示，则 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} = (n - 1) 2^{n} + 1 (n \in N^{*})$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n - 1$ 个数，使这 $n + 1$ 个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为 $b_{n}$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值 $- \frac{1}{3}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点的个数．

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