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相关试卷

1、设定义域为 $[x_{1}, x_{2}]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点 $M (x, f (x))$ 是C上任意一点，向量 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1}), \vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 $x = λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} (0 < λ < 1)$ ，又设向量 $\vec{O N} = λ \vec{O A} + (1 - λ) \vec{O B}$ ，现定义函数 $y = f (x)$ 在 $[x_{1}, x_{2}]$ 上“可在标准k下线性近似”是指 $|\vec{M N}| \leq k$ 恒成立，其中 $k > 0$ 为常数.给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的法向量可以为 $\vec{a} = (1, 0)$ ；
③函数 $y = 5 x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上“可在标准1下线性近似”；
④函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $[1, 2]$ 上“可在标准k下线性近似”，则 $k \geq \frac{3}{2} - \sqrt{2}$ .
其中所有正确结论的序号为.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1, x < 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ， $x_{4} \cdot |x_{1} + x_{2}| + \frac{16}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的取值范围是..

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3、如图， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1$ ， $⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩ = \frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 $A B$ 上运动，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是.

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4、如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为 $α$ ，大正方形的面积为1，小正方形的面积是 $\frac{1}{3}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ ．

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5、若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为．

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6、已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，点 $M (3, m)$ 到直线 $l$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$

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7、已知i为虚数单位， $3 + i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个虚根，则 $p + q =$ .

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8、已知集合 $A = \{x| \frac{3}{x - 2} < - 1\}, B = \{x | 0 < x < 3, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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9、直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，法向量为 $\vec{n} = (1, 2)$ ，则 $l$ 的一般式方程为.

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} (1 - \sin 2 B) + b^{2} (1 - \sin 2 A) = c^{2}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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11、如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ . $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $A B / / E F$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $M F D$ ；

(2)、若 $E C = 3$ ，求证： $N D ⊥ F C$ ；

(3)、求四面体 $N F E C$ 体积的最大值

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12、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2） $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ $X \geq 2$ ”的事件概率．

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13、2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式 $v = v_{0} \cdot ln \frac{M}{m}$ ，可以计算理想状态下火箭的最大速度 $v (m/s)$ ，其中 $v_{0} (m/s)$ 是喷流相对速度， $m (kg)$ 是火箭（除推进剂外）的质量， $M (kg)$ 是推进剂与火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为 $2000 m/s$ .
（ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 $m/s$ ；
（ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{2}$ .若要使火箭的最大速度至少增加 $1000 m/s$ ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为.
（所有结果保留整数，参考数据： $\ln 3 \approx 1.1$ ， $2.718 < e < 2.719$ ）

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ ，若不等式 $f (1 - a x) < f (2 + x^{2})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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15、某班男女生的比例为3：2，全班的平均身高为 $168 cm$ ，若女生的平均身高为 $159 cm$ ，则男生的平均身高为 $cm$ .

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16、已知函数 $f (x) = (\sin x + \cos |x|) |\sin x - \cos x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、若 $|f (x_{1})| + |f (x_{2})| = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上是增函数 D、函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上至少有2个零点

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $D_{1} D ⊥ A F$ B、点G到平面 $A E F$ 的距离是点C到平面 $A E F$ 的距离的2倍 C、 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ D、异面直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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18、已知集合 $U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, A = {2, 5, 7, 13}, B = {3, 7, 13, 17}, C = {7, 13}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (∁_{U} A) = ∁_{U} (∁_{U} B)$ C、 $A \cap C = B \cap C$ D、 $∁_{U} (A \cap B) = ∁_{U} C$

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19、辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为 $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ．已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ （其中 $a \neq 0$ ， $b \in R$ ， $\tan φ = \frac{b}{a}$ ）．若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增 D、过点 $(a, b)$ 的直线与 $f (x)$ 的图象一定有公共点

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20、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0]$ 上是增函数，记 $a = f (\log_{5} \frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5})$ ， $c = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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