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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x, 0 \leq x \leq 1, \\ l n x, x > 1, \end{matrix}$ 若存在实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{2} - 6 x_{1}$ 的取值范围为.

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (- x)$ ，则函数 $g (x) = f (x) + 2$ 在区间 $(- 1, 8)$ 内所有零点之和为．

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3、在一座尖塔的正南方向地面某点 $A$ ，测得塔顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，又在此尖塔北偏东 $30^{\circ}$ 地面某点 $B$ ，测得塔顶的仰角为 $45^{\circ}$ ，且 $A$ ， $B$ 两点距离为 $7 m$ ，在线段 $A B$ 上的点 $C$ 处测得塔顶的仰角为最大，则 $C$ 点到塔底 $O$ 的距离为m.

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4、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，若M为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ P M F_{1}} = S_{△ P M F_{2}} + \frac{1}{2} S_{△ M F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线的离心率为．

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5、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) + \sin α = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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6、圆 $x^{2} + y^{2} + a x +2 a y +2 a^{2} + a −1=0$ 的半径的最大值为.

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7、设 $A = \{x ∣ x^{2} - 5 x + 4 = 0\}, B = \{x ∣ a x - 1 = 0\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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8、不等式 $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 6} \geq 1$ 的解集为．

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9、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$

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10、 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{3}$ 的展开式中，常数项为．

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11、已知a，b均为实数， $(2 + i) (1 + a i) = i (b + i)$ ，则 $a b =$ .

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12、已知直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，点 $P$ 到直线 $l$ 的有向距离 $d (P, l)$ 用如下方法规定：若 $b \neq 0$ ， $d (P, l) = \frac{| b | | a x_{0} + b y_{0} + c |}{b \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ，若 $b = 0$ ， $d (P, l) = \frac{a x_{0} + c}{a}$ ．

(1)、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + 3 = 0$ ，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的有向距离 $d (O, l_{1}), d (O, l_{2})$ ；

(2)、已知点 $A (2, 1)$ 和点 $B (3, - 1)$ ，是否存在通过点 $A$ 的直线 $l_{3}$ ，使得 $d (B, l_{3}) = 2$ ？如果存在，求出所有这样的直线 $l_{3}$ ，如果不存在，说明理由；

(3)、设直线 $l_{4} : x \cos α + 2 y \sin α - 2 = 0$ ，问是否存在实数 $t > 0$ ，使得对任意的参数 $α$ 都有：点 $F_{1} (- t, 0), F_{2} (t, 0)$ 到 $l_{4}$ 的有向距离 $d (F_{1}, l_{4}), d (F_{2}, l_{4})$ 满足 $d (F_{1}, l_{4}) \cdot d (F_{2}, l_{4}) = 1$ ？如果满足，求出所有满足条件的实数 $t$ ；如果不存在，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、如图，某城市为升级沿河直线绿道 $A B$ 的沿途风景，计划在以 $A B$ 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林 $C D E F$ （ $C$ ， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ ， $F$ 在半圆上， $O$ 为圆心），已知 $A B$ 全长 $160 m$ .

(1)、求枫叶林 $C D E F$ 面积的最大值；

(2)、为方便游客休憩打卡，计划在 $A B$ 的另一侧修建观景木质栈道 $A - G - B$ ，已知 $A G$ 段每米的造价为 $a$ 元， $B G$ 段每米的造价是 $A G$ 段的两倍， $∠ A G B = \frac{π}{3}$ ，求修建观景木质栈道 $A - G - B$ 所需的费用最多为多少元（结果用 $a$ 表示）.

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15、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C$ 边上的高 $A D$ 所在直线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在直线的方程为 $y = 0$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 3)$ .

(1)、求直线 $B C$ 的方程；

(2)、求直线 $A C$ 的方程及点 $C$ 的坐标.

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n} - 27}$ $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ .

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17、若存在常数a，b，使得函数 $y = f (x)$ 对定义域内的任意x值均有 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ，则 $y = f (x)$ 关于点 $(a, b)$ 对称，函数 $y = f (x)$ 称为“准奇函数”.现有“准奇函数” $y = g (x)$ ，对于任意 $x \in R$ ，都有 $g (x) + g (- x) = 4$ ，则函数 $h (x) = \sin x + x + 2 g (x) - 1$ 在区间 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值与最小值的和为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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18、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，k为常数且 $k \in N, k \geq 2$ ，有以下两个命题：
①若 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，则 $a_{1} \cdot a_{2} \dots \dots a_{k} = 0$ 是 $S_{1} \cdot S_{2} \dots \dots S_{2 k - 1} = 0$ 的充分非必要条件，
②若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{k} + a_{k + 1} = 0$ 是 $S_{1} \cdot S_{2} \dots \dots S_{k} = 0$ 的充要条件，那么（）

A、①是真命题，②是假命题 B、①、②都是真命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①、②都是假命题

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19、已知i为虚数单位，复数z满足 $|z + 1| = |z - i|$ ，则 $|z + i|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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20、已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，那么“ $\vec{a} = μ \vec{b}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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