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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形，三棱锥 $P - A B D$ 为正四面体，则三棱锥 $P - A B D$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的外接球半径之比为.

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2、若 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{cos θ (1 - sin 2 θ)}{sin (θ - \frac{π}{4})} =$ .

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = S_{5} = 5$ ，则公差 $d =$ .

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4、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点 $P$ 在直线 $l : y = x$ 上的射影为点 $Q$ ，且 $|O P| + |P Q| = 1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点 $O$ 对称 B、点 $Q$ 的轨迹长度为1 C、 $\frac{1}{2} \leq |O P| \leq 1$ D、曲线 $C$ 围成的封闭区域的面积小于2

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5、设函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}, a \neq 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $f (x)$ 有极大值4 B、当 $a = 3$ 时， $f (x + 3) \geq f (x)$ C、当 $a > 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$ D、当 $a < - 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$

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6、有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（）

A、数据A的平均数小于数据B的平均数 B、数据A的方差小于数据B的方差 C、数据A的极差小于数据B的极差 D、数据A的中位数小于数据B的中位数

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7、狄利克雷函数 $D (x)$ 定义为： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ ，以下选项中正确的是（）

A、不存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) = D (a - x)$ 恒成立 B、存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) + D (a - x) = 1$ 恒成立 C、对任意 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $D (x_{1}) D (x_{2}) = D (x_{1} + x_{2})$ D、函数图象上存在三点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 是直角三角形

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8、已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + 4 |B F| = 9$ ，则 $p$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $A = 30 °, a = \sqrt{2}, b = 2$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $B < 60 °$ B、 $B > 90 °$ C、 $c > 2$ D、 $c < 3$

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10、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - ln x$ 在区间 $(1, 4)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（ $π$ 取 $3$ ）

A、8cm B、12cm C、16cm D、24cm

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12、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知集合 $A = {x | - 6 < x^{2} < 6}$ ，集合 $B = \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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14、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, P$ 为两曲线在第一象限的交点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{2} P O$ ，则 $e_{2} + \frac{2}{e_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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15、给定实数 $p \in (0, 1)$ ，对于正整数 $n (n \geq 2)$ ，设数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 满足每一项取1的概率为 $p$ ，取0的概率为 $1 - p$ ，且各项取值相互独立.如果数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 中的0将数列分成（ $c_{1}$ 项、 $c_{2}$ 项、…、 $c_{k}$ 项 $(k \in N^{*})$ ）全为1 的连续段，则记 $W (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}$ ，特别地，定义 $W (0, 0, ..., 0) = 0$ ，例如， $n = 9$ 时， $W (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) = 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} = 14$ .

(1)、 $n = 4$ 时，记随机变量 $X_{1} = W (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) ，$ 求 $X_{4} = 2$ 的概率.

(2)、对于数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ ，定义 $Z (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 为：若 $a_{n} = 1$ ，则它是最大的正整数 $m \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，使 $a_{n} = a_{n - 1} = \dots = a_{n - m + 1} = 1$ ；若 $a_{n} = 0$ ，则它为0，例如， $n = 5$ 时， $Z (1, 0, 1, 1, 1) = 3$ .
（i） $n = 3$ 时，求随机变量 $Z_{3} = Z (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 的分布及数学期望；
（ii）求随机变量 $Z_{n} = Z (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

(3)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求随机变量 $W_{n} = W (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

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16、已知函数 $f (x) = (x - a) ln x - x ， a \in R .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明：
(i) $ln x_{1} + ln x_{2} < - 2$ ；
(ii) $x_{2} - x_{1} < e^{- 2} + 2 a + 1.$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.

(1)、求点 $T$ 的轨迹 $W$ 的方程；

(2)、轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 $k_{1}$ ， NQ的斜率为 $k_{2}$ 且 $k_{1} = 3 k_{2}$ ， $△ M P Q$ 与 $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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18、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是底面圆 $O_{2}$ 上的一条直径， $P$ ， $Q$ 分别是底面 $O_{2}$ ， $O_{1}$ 圆周上的一点， $P Q // O_{1} O_{2}$ ， $A B = 2 P Q$ ，且点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合.

(1)、证明：平面 $A P Q ⊥$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、若二面角 $A - O_{1} O_{2} - P$ 为 $60 °$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $P Q O_{1}$ 所成角的正弦值.

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a - b \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B, a = 2, c = 6$ ， D为边 $A C$ 上的靠近点C的三等分点．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $|B D|$ ．

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20、不等式 $e^{2 x} + 3 a^{2} x \geq a e^{x} (3 + x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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