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相关试卷

1、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ ( $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n), c$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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2、有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母 $H$ .你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（）

A、①② B、②③ C、②④ D、④③

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3、设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D ξ_{1}$ 、 $D ξ_{2}$ 分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的方差，则（　　）

A、 $D ξ_{1}$ > $D ξ_{2}$ B、 $D ξ_{1}$ = $D ξ_{2}$ C、 $D ξ_{1}$ < $D ξ_{2}$ D、 $D ξ_{1}$ 与 $D ξ_{2}$ 的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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4、已知 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\lg (a - b) > 0$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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5、已知空间向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} - \vec{n} = (1, 2, 3), \vec{m} + \vec{n} = (0, - 2, 1)$ ，则 $| \vec{m} |^{2} - | \vec{n} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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6、函数 $f (x) = - 3 tan (2 x - 7)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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7、把函数 $y = ln (x + 1)$ 的图象按向量 $\vec{m} = (2, 0)$ 平移，得到 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $ln (x - 1)$ B、 $ln (x + 3)$ C、 $ln (x + 1) + 2$ D、 $ln (x + 1) - 2$

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8、若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{y | y = x^{2} - 1, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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9、牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，任取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值；一直继续下去，得到 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ .一般地，过点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.

(1)、若函数 $f (x) = x + ln x$ 的零点为 $r, x_{0} = 1$ .求 $r$ 的2次近似值；

(2)、设 $α, β (α < β)$ 是函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 的两个零点，数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{x_{n} - α}{x_{n} - β} (n \in N^{*}), x_{n} > β$ .
（i）求证：数列 $\{ln c_{n}\}$ 为等比数列；
（ii）证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{2}{\ln c_{1}}$ .

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10、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $G$ 为 $E$ 的上顶点，点 $P$ 为椭圆 $E$ 上的一个动点，且三角形 $F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为1，焦距为2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、如图，过点 $F_{1}, F_{2}$ 作两直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆 $E$ 相交于点 $M, N$ 和点 $A, B$ .
（i）若点 $M, N$ 不在坐标轴上，且 $∠ M G F_{1} = ∠ N G F_{1}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（ii）若直线 $l_{1}, l_{2}$ 斜率都存在，且 $M N ⊥ A B$ ，求四边形 $M A N B$ 面积的最小值.

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11、某系统配置有 $2 n - 1$ 个元件（ $n$ 为正整数），每个元件正常工作的概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性.

(1)、当 $n = 3, p = 0.5$ 时，求该系统正常工作的概率；

(2)、现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由.

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 120^{\circ}$ ， $A C = A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A A_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $B P C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 1, 8 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 3, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $2 n$ 项的和 $T_{2 n}$ .

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交双曲线左支于 $M, N$ 两点（其中 $M$ 在 $x$ 轴上方， $N$ 在 $x$ 轴下方）， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $R, △ N F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r$ .若 $R = 4 r$ ，则直线 $l$ 的斜率等于.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，满足 $sin B (a cos B + b cos A) = 2 a sin (A + B)$ .若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值是.

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X > 1.5) = 0.12$ ，则 $P (1 < X \leq 1.5) =$ .

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17、平面直角坐标系中，定义 $d (M, N) = max \{|x_{1} - x_{2}|, |y_{1} - y_{2}|\}$ 为两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 的“切比雪夫距离”；又设点 $P$ 及直线 $l$ 上任意一点 $Q$ ，称 $d (P, Q)$ 的最小值为点 $P$ 到直线 $l$ 的“切比雪夫距离”，记作 $d (P, l)$ .则下列结论正确的是（）

A、当 $M (2, 1), N (- 1, 2)$ 时， $d (M, N) = 3$ B、当 $M (2, 1), l : 2 x - y + 3 = 0$ 时， $d (M, l) = 2$ C、对任意三点 $A, B, C, d (A, B) + d (B, C) > d (A, C)$ 恒成立 D、动点 $P (x, y)$ 与定点 $F (x_{0}, y_{0})$ 满足 $d (P, F) = 2$ 的轨迹围成的面积是16

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18、如图所示，在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴非负半轴为始边的锐角 $α$ 与钝角 $β$ 的终边与单位圆分别交于 $A, B$ 两点.若点 $A$ 的横坐标为 $\frac{11}{14}$ ，点 $B$ 的纵坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $tan β = - 4 \sqrt{3}$ B、 $sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $tan (β - α) = \sqrt{3}$ D、 $cos (2 α - β) = \frac{13}{14}$

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19、每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

二月
三月
四月
五月
六月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
月借阅量 $y$ （百册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\hat{a} = 4.68$ B、借阅量 $4.9, 5.1, 5.5, 5.7, 5.8$ 的下四分位数为5.7 C、 $y$ 与 $x$ 的线性相关系数 $r > 0$ D、七月的借阅量一定不少于 $6.12$ 百册

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (1 - x)$ 为偶函数， $g (2 - x)$ 为奇函数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{5}{2})$ D、 $g (\frac{1}{2}) = g (- \frac{5}{2})$

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	二月	三月	四月	五月	六月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5
月借阅量 $y$ （百册）	4.9	5.1	5.5	5.7	5.8