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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l₁与过F₂的直线l₂交于点M，设M的坐标为(x₀ ， y₀)，若l₁⊥l₂ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} < 1$ B、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} > 1$ C、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} < 1$ D、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} > 1$

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2、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x} + 2, x \leq 1 \\ \log_{2} (x - 1), x > 1 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, a]$ 上的最大值为4，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 17]$ B、 $(- \infty, 17]$ C、 $[1, 17]$ D、 $[1, + \infty)$

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3、设函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ ，若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则a的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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4、如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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5、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过点F₁作圆x²+y²＝a²的切线交双曲线右支于点M，若tan∠F₁MF₂＝2，又e为双曲线的离心率，则e²的值为（）

A、 $\frac{5 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{6}}{2}$

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6、红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长 $5.2 m$ ），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇 $1.2 m$ 宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料 $12 m$ ，则可围成该活动区的最大面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $15 m^{2}$ C、 $20.8 m^{2}$ D、 $24.2 m^{2}$

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7、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 512$ ，公比 $q = - \frac{1}{2}$ ，记 $Π_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots a_{n}$ （即 $Π_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积）， $Π_{8}, Π_{9}, Π_{10}, Π_{11}$ 中值为正数的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8、圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 3, 2)$ ，且圆心 $C$ 在 $l : x - y - 2 = 0$ 上，
（1）求圆 $C$ 的标准方程；
（2）过点 $P (3, - 1)$ 作直线 $m$ 交圆 $C$ 于 $M N$ 且 $| M N | = 8$ ，求直线 $m$ 的方程.

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求对角线 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A C_{1}}⟩$ ．

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10、过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M 、 N$ 两点（其中 $M$ 点在第一象限），若 $\overset{⃑}{M N} = 3 \overset{⃑}{F N}$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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11、已知点 $A (- 2, 0)$ ，动点 $B$ 的纵坐标小于等于零，且点 $B$ 的坐标满足方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则直线 $A B$ 的斜率的取值范围是．

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12、已知 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (6, - 2)$ ，点P是圆 $E : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一点，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2} + 37$ B、 $49 - 6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3} + 37$ D、 $49 - 6 \sqrt{2}$

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13、已知 $x, y \in R$ 且 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $4 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ， M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为 $(3, 1)$ ，则 $|M D| - |M F_{1}|$ 的最大值为（）

A、3 B、1 C、 $- 3$ D、 $- 2$

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15、某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间 $[5, 40]$ （单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的 $70$ 百分位数是（）

A、29分钟 B、27分钟 C、29.5分钟 D、30.5分钟

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16、已知点 $A (0, 0, 1)$ ， $B (1, 0, 0)$ ， $C (1, 1, 0)$ ， $P (0, 1, 0)$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、已知点 $A (1, 4)$ 到直线 $l : a x + y - 1 = 0$ 的距离为3，则实数 $a$ 等于（）

A、3 B、 $\frac{3}{4}$ C、0或3 D、0或 $\frac{3}{4}$

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18、经过点 $(1, 3)$ ， $(- 2, 4)$ 的直线方程为（）

A、 $x + 3 y - 10 = 0$ B、 $3 x + y - 10 = 0$ C、 $x - 3 y + 10 = 0$ D、 $3 x + y + 10 = 0$

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19、对于函数 $f (x), g (x), h (x),$ 如果存在实数 $a, b,$ 使得 $h (x) = a f (x) + b g (x),$ 那么称 $h (x)$ 为 $f (x), g (x),$ 的线性生成函数， $(a, b)$ 称为生成系数对.

(1)、已 $f (x) = x^{2} - x, g (x) = x^{2} + x + 1, h (x) = x^{2} - x + 1$ ，试判断 $h (x)$ 是否为 $f (x), g (x)$ 的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由；

(2)、已知 $f (x) = x, g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的线性生成函数为 $h (x)$ ，生成系数对为 $(a, 1)$ ，试讨论 $h (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、已知 $f (x) = 4^{x} + x, g (x) = 2^{x} + 3 x,$ 的线性生成函数为 $h (x)$ ，生成系数对为 $(3, - 1)$ ，若对于任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $2^{x_{2} + m} \cdot h (x_{1}) + 2^{x_{1}} \cdot h (x_{2} + m) = 10 \cdot 2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2} + m}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，它的两根 $α$ 、 $β$ 有如下关系： $α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$ ． ”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 $α$ 和 $β$ 满足如下关系： $α + β = - \frac{b}{α}, α β =$ $\frac{c}{a}$ ，那么这两个数 $α$ 和 $β$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程
例如： $m + n = - 3, m n = 2$ ，那么 $m$ 和 $n$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 的两根．请应用上述材料解决以下问题：

(1)、已知 $m$ 、 $n$ 是两个不相等的实数，且满足 $m^{2} - 2 m = 4$ ， $n^{2} - 2 n = 4$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a b + (a + b) = 13$ ， $a^{2} b + a b^{2} = 42$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是二次函数 $f (x) = 4 k x^{2} - 4 k x + k + 1$ 的两个零点，且 $k \in Z$ ，求使 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的值为整数的所有 $k$ 的值．

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