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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a^{2} e^{x} - 3 a x + 2 sin x, a \neq 0$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > \sqrt{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $a \in [1, + \infty)$ 时， $f (x) \geq cos x$ .

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2、已知抛物线 $E : y^{2} = a x (a > 0), P$ 为 $E$ 上一动点，且点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 之间的最小距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、连接 $P, A$ 并延长交抛物线 $E$ 于另一点 $Q$ ，若 $|P Q| = 2 |O Q|$ （ $O$ 是原点），求点 $P$ 的横坐标.

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 b, c = 3, cos A = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $cos (C - B)$ 的值.

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} E ⊥ B_{1} D_{1}$ .

(2)、求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值.

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5、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2 + cos x + sin x$ ，且 $sin α + cos β = \sqrt{3}, cos α + sin β = 0$ ，则 $f (α + β) =$ .

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6、某公司有5名员工要去参加 $A, B, C$ 三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有种不同的安排方案.

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7、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ ，其上底面圆 $O_{1}$ 的直径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为.

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8、某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 的距离的倒数之和等于1的点 $P$ 的轨迹，如图所示，则（）

A、 $\sqrt{2} \leq |P F_{1}| \leq 2 + \sqrt{2}$ B、 $|P O|$ 的最小值为2 C、当点 $P$ 不在坐标轴上时，点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的外部 D、当点 $P$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ 时， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 随着 $|x_{0}|$ 的增大而增大

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x (a > 0)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象上不存在关于 $(0, - 1)$ 对称的两点 D、当 $f (x)$ 的极小值大于 $- 7$ 时， $a$ 的取值范围为 $(0, \frac{9}{4})$

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10、某汽车公司为了宣传 $A, B$ 两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：
A
9.9
9.5
9.6
9.4
9.7
9.8
9.9
9.7
B
9.7
9.5
9.8
9.7
9.7
9.9
9.8
9.6
下列说法正确的是（）

A、A，B两款汽车评分数据的众数相同 B、A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C、若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D、A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差

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11、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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14、已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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15、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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17、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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18、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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19、某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为 $4 %$ ，乙生产线的次品率为 $7 %$ ，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．

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20、在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为，各项系数之和为．

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A	9.9	9.5	9.6	9.4	9.7	9.8	9.9	9.7
B	9.7	9.5	9.8	9.7	9.7	9.9	9.8	9.6