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相关试卷

1、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ ， $C_{2} : {(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $r = 1$ 且两圆内切，则圆心 $C_{2}$ 的轨迹方程为 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 9$ B、若 $m = n = 1, r = 3$ ，则两圆有3条公切线 C、若 $m = n = 1, r = 3$ ，则两圆的公共弦所在直线的方程为 $3 x + 4 y - 16 = 0$ D、若 $m = n = 0, r = 1$ ， $A B$ 为圆 $C_{2}$ 的直径， $P$ 为圆 $C_{1}$ 上的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的最大值为 $\sqrt{41} + 4$

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2、下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x - 1$ 在 $y$ 轴上的截距为 $1$ B、直线 $l_{1} : a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : x + (a - 1) y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、经过定点 $A (0, 2)$ 的直线都可以用方程 $y = k x + 2$ 表示 D、点 $C (2, 3)$ 关于直线 $x - y = 1$ 的对称点是 $(4, 1)$

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3、数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过 $△ A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 作它的外接圆的切线分别和边 $B C, C A, A B$ 所在的直线相交于点 $P, Q, R$ ，则三点 $P, Q, R$ 在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系 $x O y$ 中若某三角形三个顶点的坐标分别为 $A (0, 1), B (- 2, 0), C (0, - 4)$ ，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 8 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 8 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 8 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 8 = 0$

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的焦点， $A$ ， $B$ 分别是 $C$ 上第二、四象限上的点．若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A B$ 的中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、0 C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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6、椭圆 $16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ 的焦点为（）

A、 $(\pm 4, 0)$ B、 $(0, \pm 3)$ C、 $(\pm 3, 0)$ D、 $(\pm 5, 0)$

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7、设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ .

(1)、若不等式 $y < - 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求 $\frac{m^{2} - 2 m + 5}{m - 1}$ 的最大值；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 > (m^{2} + 3) x - m - 4$ 的解集. $(m \geq 0)$

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8、某企业投资144万元用于火力发电项目， $n (n \in N_{+})$ 年内的总维修保养费用为（ $4 n^{2} + 40 n$ ）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）

(1)、写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)、随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；
②纯利润最大时，以4万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

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9、（1）若 $a > 0, b > 0$ ，且 $3 a b = a + b + 1$ ，求 $a + b$ 的最小值，并指出取得最小值时相应的 $a, b$ 的值.
（2）已知 $a, b, c$ 都为正实数，且 $a + b + c = 1$ ，求证： $(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) \geq 10$ .

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10、设集合 $U = R$ ， $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m}$ .

(1)、 $m = 3$ ，求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $m$ 的取值范围.

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11、当 $x \in (2, + \infty)$ 时，不等式 $\frac{m^{2} x - 1}{m x + 1} < 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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12、已知 $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n^{2} + n}{2}$ .若对于非空数集 $A$ ，存在 $k (k > 1)$ 个两两交集为空的集合 $B_{1}$ ， $B_{2}, \dots, B_{k}$ ，使得 $B_{1} \cup B_{2} \cup \dots \cup B_{k} = A$ ，且 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{k}$ 任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合 $A$ 为“ $k$ 可分集”.设 $A_{n} = {1, 2, \dots, n}$ ，则（）

A、 $A_{4}$ 是“4可分集” B、若 $A_{4 k}$ 是“4可分集”，则 $k$ 为偶数 C、对于任意的偶数 $k, A_{3 k}$ 不为“ $k$ 可分集” D、对于任意的奇数 $k, A_{3 k}$ 均为“ $k$ 可分集”

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13、下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ， $y = x + 3$ B、 $y = \sqrt{x^{2}} - 1$ ， $y = x - 1$ C、 $y = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ ， $y = |x - 1|$ D、 $y = x^{- 1}$ ， $y = - \frac{1}{x}$

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14、图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap (∁_{U} M)$ B、 $M \cap (∁_{U} M)$ C、 $∁_{(M \cup N)} N$ D、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$

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15、已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x) < m^{2} - 2 a m + 2$ 对所有的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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16、已知正数x，y满足 $x y = x + y + 8$ ，则 $x + y$ 的最小值为

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17、函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 2 x^{2}$ ， $f (1 + x) - f (1 - x) = 8 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (2) = 4$ B、 $f (3) + f (1) = 18$ C、 $y = f (x) - x^{2}$ 为奇函数 D、 $f (x + 2) + f (x) \geq 0$

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18、已知集合 $A = \{x | x \leq - 2 或 x ＞ 1\}$ ， B=(2a-3，a+1），若 $A \cup B = R$ ，则a的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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19、为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：① $x > y > z > 0$ ；② $4 z > x + y$ ，则这些数学专著至少有（）

A、9本 B、10本 C、11本 D、12本

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + 2 a + b$ 是定义在 $[a - 1, a]$ 上的偶函数，则 $f (a + b) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{8}$

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