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相关试卷

1、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{n + 1} = a_{n} - n$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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2、若 $θ$ 为第二象限角，且 $tan (π + θ) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + cos θ}{1 - sin (\frac{π}{2} - θ)}} + \sqrt{\frac{1 - cos θ}{1 + sin (θ - \frac{3 π}{2})}}$ 的值是．

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3、已知函数 $f (x) = |2^{x} - 2| - m$ 有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．

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4、设函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有二个零点 B、过点 $(0, - 4)$ 仅可以作一条直线与 $f (x)$ 的图象相切 C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, m + 4)$ 上有最大值，则 $m$ 的取值范围为 $(- 3, 0]$

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5、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 的一个周期为 4 C、 $f (\frac{5}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 0$ D、 $f (x)$ 在区间 $(5 ， 6)$ 上单调递增

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6、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6 a_{3} + 1 ， a_{2} = 2$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 有最小项 C、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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7、设 $a = \frac{e + 2}{\ln (e + 2)}, b = \frac{2}{\ln 2}, c = \frac{e^{2}}{4 - \ln 4}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b<c<a$ C、 $a < c < b$ D、 $c<a<b$

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8、若不等式 $1 < a - b \leq 2, 2 \leq a + b < 4$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $5 \leq 4 a - 2 b \leq 10$ B、 $5 < 4 a - 2 b < 10$ C、 $3 \leq 4 a - 2 b \leq 12$ D、 $3 < 4 a - 2 b < 12$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为（）

A、递增数列 B、递减数列 C、常数列 D、摆动数列

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10、已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0, 且 a \neq 1)$ ，原函数 $y = f (x)$ 的反函数可记作 $y = f^{- 1} (x)$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，证明：当 $x \in [1, + \infty), f^{- 1} (x) \leq \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$

(2)、当 $a > 1$ 时，求函数 $g (x) = (x - 1) f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $0 < a < e^{- e}$ 时，讨论曲线 $y = f (x)$ 与 $y = f^{- 1} (x)$ 的交点个数．

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11、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过圆 $O : x^{2} + y^{2} = 6$ 上一动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作椭圆的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（I）证明： $P A ⊥ P B$ ；
（II）求四边形 $P A O B$ 面积的取值范围．

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12、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形， $A B = 2, A_{1} B_{1} = 1, B C$ 的中点为 $E$ ．

(1)、证明： $D_{1} E //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $D_{1} D = \sqrt{3}$ ，点 $D_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影恰是 $D E$ 的中点，求平面 $B E D_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 99, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ．

(1)、求证： $\{lg (a_{n} + 1)\}$ 是等比数列

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{lg (a_{n} + 1) - 1}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 2$ ．

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c + b}{a} = \frac{\sqrt{3} sin C - sin A}{sin C - sin B}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 2, A B = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、设 $a, b, c, d, e, f$ 为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数 $m = \bar{a b c}, n = \bar{d e f}$ ，其中 $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ ，例 $\bar{321} = 100 \times 3 + 10 \times 2 + 1$ ，则 $|m - n|$ 的值大于400的概率为．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1} =$ ．

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17、在二项式 ${(\frac{1}{x} - x)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为．

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18、已知三棱锥 $A - B C D, B C = 2, A B ⊥ A C, D B ⊥ D C, ∠ A C B = \frac{π}{3}, ∠ B C D = \frac{π}{4}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球为球 $O$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $A B$ 与 $C D$ 可能垂直 B、 $A C$ 与 $B D$ 可能垂直 C、过棱 $A D$ 作球 $O$ 的截面，截面面积可能为 $\frac{π}{8}$ D、二面角 $D - A C - B$ 的余弦值可能为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，其中 $M$ 是 $A B$ 的中点，点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离为 $\frac{1}{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A、若直线 $l$ 的方程为 $2 x - 2 y - 1 = 0$ ，则 $M (\frac{3}{2} ， 1)$ B、 $|A F| + |B F| = |A F| \cdot |B F|$ C、点 $M$ 的轨迹方程是 $y^{2} = x - \frac{1}{2}$ D、 ${|A B|}^{2} = 4 {|O M|}^{2} + 3$

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20、下列论述正确的是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 3$ B、数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C、记两个变量的样本相关系数为 $r$ ，若 $|r|$ 越接近0，线性相关程度越强 D、对某两个分类变量进行独立性检验时，若 $χ^{2} \geq x_{0.05}$ ，则有 $95 %$ 的把握能推断零假设成立．其中 $x_{0.05}$ 表示概率值0.05所对应的临界值

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