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相关试卷

1、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为．

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2、在 $△ A B C$ 中，若 $A = 45 °$ ， $B = 30 °$ ， $a = 2 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ ．

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3、下列结论正确的是（）

A、若复数 $z$ 满足 $|z| = 2$ ，则 $z = \pm 2 i$ B、若复数 $3 + i$ 与 $- 2 + 4 i$ 在复平面内分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 5 + 3 i$ C、若复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z (2, - 1)$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、若复数 $z$ 满足 $2 \leq |z| \leq 3$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 $5 π$

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4、已知 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}, \vec{A F} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $2 λ + 8 μ$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、6

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5、在 $△ A B C$ ，若 $a \cos B = b \cos A$ ，且 $a = b \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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6、已知 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是直角三角形，如图所示，其中 $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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7、已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 $D : {(x -1)}^{2} + y^{2} = 1$ 都相切，记点P的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 $x = \frac{5}{2}$ 上，且 $∣ A B ∣= \sqrt{13}$ ，求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 $△ O A B$ 面积的最小值.

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8、已知 ${(2 x - 1)}^{n}$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、设 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1}$ 的值.

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9、已知随机变量X的分布列为
X
$- 1$
0
1
P
$p_{1}$
$p_{2}$
$p_{2}$
下列结论正确的（）

A、若 $p_{1} = 2 p_{2}$ ，则 $p_{1} = \frac{1}{4}$ B、若 $p_{1} = p_{2}$ ，则 $P (|X| = 1) = \frac{2}{3}$ C、若 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，则 $p_{2} = \frac{4}{9}$ D、 $p_{1}^{2} - p_{2}$ 的最小值为 $- \frac{9}{16}$ $(p_{1} p_{2} \neq 0)$

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10、设 $a = \frac{4}{104}$ ， $b = \ln 1.04$ ， $c = e^{0.04} - 1$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 焦距为 $2 c$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{c}{2}$ ，则离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、2

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12、与圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 都相切的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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13、4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A、 $A_{3}^{3}$ B、 $A_{4}^{4}$ C、 $4^{3}$ D、 $3^{4}$

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14、 $\sqrt{5} - 2$ 和 $\sqrt{5} + 2$ 的等差中项与等比中项分别为（）

A、 $\sqrt{5}, 1$ B、 $\sqrt{5}, \pm 1$ C、 $2, \pm \sqrt{5}$ D、 $1, \pm \sqrt{5}$

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15、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{\ln 2}{x}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = x e^{x} + 1$ D、 ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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17、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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X	$- 1$	0	1
P	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{2}$