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相关试卷

1、如图，在四面体ABCD中， $B C = \sqrt{2} A D = 2, A C = 1, ∠ C A D = ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点E，F分别是CD，AB的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ A C$ ；

(2)、若二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求直线EF与平面BCD所成角的大小.

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2、已知函数 $f (x) = e x - a \sin x, x \in [0, \frac{π}{2}), a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值，求a的取值范围.

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3、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = - a b$ ，且 $b \sin C = 2 \sqrt{3} \sin B$ .

(1)、求角C及边c的值；

(2)、求 $a + b$ 的最大值.

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为 $\frac{3}{2}$ ，若等边三角形 $A_{n - 1} A_{n} B_{n} (n \in N^{*})$ 的边 $A_{n - 1} A_{n}$ 在x轴的非负半轴上， $A_{0}$ 与原点O重合，点 $A_{n}$ 的横坐标大于点 $A_{n - 1}$ 的横坐标，位于第一象限的点 $B_{n}$ ，在抛物线C上，则 $|A_{n - 1} A_{n}| =$ .（用含n的式子表示）

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5、若函数 $f (x) = \ln \frac{2 x + a}{1 - x} - b$ 是奇函数，则 $b =$ .

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6、 ${(2 x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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7、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、点 $N$ 到平面 $A_{1} A M$ 的距离为定值 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $14 π$ C、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ D、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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8、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $∠ N A_{1} M = \frac{5 π}{6}$ ，则（）

A、 $∠ A_{1} M A_{2} = \frac{π}{6}$ B、 $|M A_{1}| = 2 |M A_{2}|$ C、C的离心率为 $\sqrt{13}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_{1} M A_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$

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9、下列命题中，正确的是（）

A、数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $y = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量y与x成负相关 C、若随机变量X服从正态分布 $N (3, σ^{2}), P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、样本相关系数，有时也称样本线性相关系数， $| r |$ 刻画了样本点集中于某条直线的程度，当 $r = 0$ 时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系

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10、已知互不相等的实数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ ，满足 $(a_{1} + b_{i}) (a_{2} + b_{i}) (a_{3} + b_{i}) + 1 = 0 (i = 1, 2, 3)$ ，记 $m_{i} = (a_{i} + b_{1}) (a_{i} + b_{2}) (a_{i} + b_{3}) (i = 1, 2, 3)$ ，则 $m_{1} + m_{2} + m_{3}$ 等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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11、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若 $A C = 2 B C$ ，则点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、已知正实数a，b满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $a + b$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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13、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 满足 $f (x) = f (π - x)$ ，且在 $(0, \frac{π}{3})$ 有唯一零点，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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14、某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（）
（ $10^{0.06} \approx 1.15 ， \lg 2 \approx 0.30$ ）

A、115% B、15% C、30% D、60%

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 5 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \\ \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \end{matrix}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、8 B、4 C、2 D、1

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16、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(3, 4)$ ，则 $\frac{\bar{z}}{| z |} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (1, 0), Q (- 4, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值．

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18、如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形， $F A = F C = 2 \sqrt{6}$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ ．

(1)、求证：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值；

(3)、试问直线BC上是否存在点M，使直线 $A E / /$ 平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

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19、云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，战平的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，若进入点球大战则取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每场比赛相互独立．

(1)、求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；

(2)、设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \cdot cos A + \frac{\sqrt{3}}{3} a \cdot sin B = c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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