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相关试卷

1、已知命题p： $\forall x > 1$ ， $x^{2} + x > 2$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + x \leq 2$ B、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + x \leq 2$ C、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} + x \leq 2$ D、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + x \leq 2$

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2、“ $a > 0$ ”是“ $a^{2} + a > 0$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{1, 3, 5\}$

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4、下列元素所组成的总体，能表示集合的是（）

A、高一年级打篮球好的学生 B、高一年级比较难的学科 C、高一年级所有男生 D、高一年级写字好的学生

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5、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设 $O_{1}$ 表示以O为圆心且过A，B的圆， $O_{2}$ 表示以O为圆心且过B，C的圆， $O_{3}$ 表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆 $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ 的劣弧 $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{A C}$ 围成的曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角 $C - O A - B, A - O B - C, B - O C - A$ 分别为 $α, β, γ$ ，则球面三角形的面积为 $S_{球面 A B C} = (α + β + γ - π) R^{2}$ （R为球半径）．已知 $R = \sqrt{3}$ ．

(1)、若平面 $O A B$ ，平面 $O A C$ ，平面 $O B C$ 两两垂直，求球面三角形 $A B C$ 的面积；

(2)、若平面三角形 $A B C$ 为直角三角形， $A C ⊥ B C$ ，设 $∠ A O C = θ_{1}, ∠ B O C = θ_{2}, ∠ A O B = θ_{3}$ ．则：
①求证： $\cos θ_{1} + \cos θ_{2} - \cos θ_{3} = 1$ ；
②延长 $A O$ 与球O交于点D．若直线 $D A, D C$ 与平面 $A B C$ 所成的角分别为 $\frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \vec{B E} = λ \vec{B D}, λ \in (0, 1]$ ， S为 $A C$ 中点，T为 $B C$ 中点，设平面 $O B C$ 与平面 $E S T$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最小值以及此时平面 $A E C$ 截球O的截面面积．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 3$ ， $c = 5$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且__________，求 $A D$ 的长.
在① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $B D = D C$ ；③ $A D ⊥ B C$ 这三个条件中任选一个，补充到题干中的横线位置，并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ A B$ ， $A C = A B = C C_{1} = 1$ ， $E$ 是线段 $A B$ 的中点，在 $△ A_{1} B C$ 内有一动点 $P$ （包括边界），则 $|\vec{P A}| + |\vec{P E}|$ 的最小值是

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $P$ 为正方体内一点，若 $A P = C P$ ， $A_{1} P = \sqrt{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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9、古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点 $A (2, 0), B (0, 4)$ ，若圆 $C : {(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上不存在点 $P$ 满足 $| P B | = 3 | P A |$ ，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}) \cup (5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}, + \infty)$ B、 $(0, 5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4})$ C、 $(0, 5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}) \cup (5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4}, + \infty)$ D、 $(5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}, 5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4})$

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10、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， $A D ⊥ P A$ ， $B C ⊥ P B$ ， $P B = B C$ ， $P A = A B$ ， M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面 $P C D ⊥$ 平面AMN，则 $\frac{P N}{N C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是 $A D$ 的中点，N是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $D_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、已知点A，B分别是直线 $l_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 4 x + 2 y + 1 = 0$ 上的点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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13、直线 $x - \sqrt{3} y + 2025 = 0$ 的倾斜角为（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，且对于平面 $A B C$ 外一点 $O$ ，满足 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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15、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且过点 $A (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点且不过原点．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $A P ⊥ A Q$ ，求证：直线 $l$ 经过定点，并求出定点的坐标；

(3)、若直线 $O P$ ， $P Q$ ， $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，且 $k_{2}^{2} = k_{1} k_{3}$ ，求 $△ O P Q$ 面积的取值范围．

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16、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点 $P$ 在第一象限， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $Q$ 为△ $P F_{1} F_{2}$ 的内心，若内切圆 $Q$ 的半径为1，则直线 $P F_{1}$ 的斜率等于.

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17、双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右焦点到其一条渐近线的距离是．

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18、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = k y + \frac{p}{2}$ 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N (M$ 在 $x$ 轴上方）， $O$ 为坐标原点， $| O F | = \frac{3}{2}, | N F | = 2$ .则（）

A、 $p = 3$ B、 $k = \sqrt{3}$ C、 $△ M O F$ 与 $△ N O F$ 面积之比为3 D、 $△ M N O$ 面积为 $3 \sqrt{3}$

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19、如图， $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上异于顶点的一点， $F (- c, 0) 、 A (a, 0)$ 分别是椭圆 $C$ 的左焦点和右顶点．过点 $P$ 分别向 $x$ 轴和直线 $l : x = - \frac{a^{2}}{c}$ 作垂线，垂足分别为 $M, N$ ．记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $H, O$ 为坐标原点，则下列比值与 $\frac{| O F |}{| O A |}$ 相等的是（）

A、 $\frac{| O A |}{| O H |}$ B、 $\frac{| A F |}{| A H |}$ C、 $\frac{| M P |}{| M A |}$ D、 $\frac{| P F |}{| P N |}$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} A}, B F_{1} ⊥ A B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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