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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $4 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $M (2, 1)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，射线 $M O$ （ $O$ 为坐标原点）交椭圆 $C$ 于点 $N$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、当 $M$ 为 $A B$ 的中点时，直线 $A B$ 的斜率为 $- \frac{4}{3}$ C、当 $A B ⊥ M N$ 时，直线 $A B$ 的方程为 $2 x + y - 5 = 0$ D、当 $A B ⊥ x$ 轴时， $△ A B N$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$

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2、若直线 $l : 2 x + a y + 1 = 0$ 关于直线 $x + y - 3 = 0$ 对称的直线经过点 $A (- 2, 1)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、已知 $a = {1.3}^{0.1}$ ， $b = {log}_{2.1} 0.9$ ， $c = {log}_{2.1} 1.3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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4、圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的圆心坐标和半径分别是（）

A、 $(- 2, 1), 4$ B、 $(- 2, 1), 2$ C、 $(2, - 1), 4$ D、 $(2, - 1), 2$

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5、已知圆 $M$ 的圆心在 $x$ 轴上，且经过 $(0, 0)$ ， $(2, 2)$ 两点.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 ${|A Q|}^{2} + {|B Q|}^{2} = 8$ ，求 $l$ 的斜率.

(3)、若 $P$ 为直线 $x - y + 2 = 0$ 上的一个动点，过 $P$ 作圆 $M$ 的切线，切点为 $C$ ， $D$ ，判断直线 $C D$ 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

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6、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $B C, C D$ 上的动点，且 $D F = C E$ .

(1)、证明： $B_{1} F ⊥ D_{1} E$ .

(2)、当 $E F$ 的长度最短时，求直线 $A_{1} E$ 与平面 $C_{1} E F$ 所成角的正弦值.

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7、已知圆 $M : x^{2} + 2 x + y^{2} - 2 y + m = 0$ 的半径为 $3$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、若 $A$ 为圆 $M$ 上的一个动点， $B (2, 5)$ ，求 $|A B|$ 的取值范围；

(3)、若过点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $C, D$ 两点，且 $|C D| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程.

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8、已知点 $A (1, - 2)$ ，直线 $l : x - 3 y + 1 = 0$ .

(1)、求过 $A$ ，且与 $l$ 平行的直线的一般式方程；

(2)、求过 $A$ ，且与 $l$ 垂直的直线的斜截式方程；

(3)、已知直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且 $l$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 三线共点，求 $l_{2}$ 的倾斜角.

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9、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ， $P$ 、 $Q$ 为圆 $M$ 上的两个动点， $A (2, 3)$ 为圆 $M$ 内的一点，若 $∠ P A Q = \frac{π}{2}$ ，则线段 $P Q$ 中点的轨迹方程为.

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $C$ 为钝角，且 $a : b : c = 2 : 3 : t$ ，则 $t$ 的取值范围为.

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11、已知 $\vec{a} = (- 3, 1, - 2)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量， $\vec{b} = (x, y, 4)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，且 $l ⊥ α$ ，则 $x + y =$ .

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{8}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为8 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 3]$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5}{2}, 1)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{5}{2}, \frac{13}{2})$ 上单调递减

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13、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{2} x + 2^{x} - 5$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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14、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $3 A B = 2 A A_{1}$ ， $G$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上，且 $\frac{A E}{A_{1} E} = \frac{C_{1} F}{C F} = 2$ ，则二面角 $A_{1} - E G - F$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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15、点 $A (2, 1)$ 关于直线 $x + y + 3 = 0$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, - 3)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 4, - 5)$ D、 $(- 5, - 6)$

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16、圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y + \sqrt{14})}^{2} = 9$ 的公切线的条数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、已知复数 $z = (a + b i) (1 - i)$ ， $a \in R$ ， $b \in R$ ，则“ $z$ 是实数”的充要条件是（）

A、 $a b = 0$ B、 $a b = 1$ C、 $a = b$ D、 $a + b = 0$

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18、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ， $f (0) = 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $f (x) + m > 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x, x < 0 \\ - x^{2} + b x + c, x \geq 0 \end{array}$ ，且 $f (1) = 5, f (2) = 6$ ．
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）写出 $f (x)$ 的单调增区间和单调减区间．

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20、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + a - a^{2} \leq 0$ ．
（1）若 $a = 2$ 时，求不等式的解集
（2）求不等式的解集

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