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1、意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，并称其为双曲余弦函数.若 $\forall x \in [a - 1, 1]$ 恒有 $\cosh (x + 2 a) \geq \cosh (\sqrt{3} x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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2、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点，该定点的坐标为.

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3、下列说法正确的序号是（）

A、 $\forall a > 1$ ， $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $x > x_{0}$ 时， $a^{x} > x^{a} > {log}_{a} x$ 恒成立 B、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ C、利用二分法求方程 $\log_{2} x = 4 - x$ 的近似解，可以取的一个区间是 $(3, 4)$ D、函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} - 3$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围 $a \leq 2$

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4、下列说法中，正确的有（）

A、命题“ $\forall x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} < 0$ ” B、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 是同一个函数 C、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 3) = 4 x - 7$ ，若 $f (a) = - 3$ ，则实数 $a = - 1$ D、幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是减函数，等价于 $m = 2$ 或 $- 1$

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5、下列不等式的解集为R的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} > 0$ B、 $x^{2} - 3 x + 5 > 0$ C、 $- 3 x^{2} + 6 x - 4 < 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1$

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6、已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{3}}, b = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{3}}, c = {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ．

(1)、结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离 $d$ 和椭圆的面积 $S$ （不需证明）；

(2)、已知 $d = \sqrt{6}, S = 2 \sqrt{3} π$ ，请利用（1）的猜想解答下面问题．
①求椭圆的方程；
② $O$ 为坐标原点，设点 $P (3, m) (m > 0)$ ，过右焦点 $F$ 作 $P F$ 的垂线交椭圆于 $A, B$ 两点．求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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8、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，在空间任取一点O，作 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为 $\vec{a} \times \vec{b}$ ： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都垂直的向量，且它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D A = D P = 4, A B = 2, E$ 为线段AD上一点．

(1)、求 $|\vec{A D} \times \vec{B P}|$ ；

(2)、若 $E$ 为线段 $A D$ 的中点，求二面角 $P - E B - A$ 的正弦值；

(3)、线段 $P B$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $\vec{A D} \times \vec{B P} = λ \vec{E M}$ ，若存在，请求出 $|λ|$ 的值；若不存在，请说明理由．

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (3, \sqrt{2})$ ，左右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 作斜率为1的直线l，l与双曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

(3)、若 $O$ 是坐标原点，M，N是双曲线 $C$ 上不同的两点，且直线MN的斜率为常数 $k (k \neq 0)$ ，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．

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10、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点 $Q$ ；

(2)、当圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离取得最大值时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $m = 0$ 时， $P$ 为 $l$ 上一动点，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．求四边形 $P A C B$ 面积的最小值．

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是平面 $A B_{1}$ ，平面 $A_{1} C_{1}$ 的中心．

(1)、求证： $B, C_{1}, F, E$ 四点共面；

(2)、求 $F - A_{1} B C D_{1}$ 的体积．

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12、如图，“爱心”图案由函数 $f (x) = - x^{2} + 4$ 的图像的一部分及其关于直线 $y = - x$ 的对称图形组成，点 $M$ 是该图案上一动点， $N$ 是其图象上点 $M$ 关于直线 $y = - x$ 的对称点，连接 $M N$ ，则 $|M N|$ 的最大值为．

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13、已知实数 $x, y$ 满足 $x - y = 0$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 17} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 29}$ 的最小值为

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14、如图，线段 $A B, B D$ 在平面 $α$ 内， $A C ⊥ α, ∠ A B D = 60^{0}$ ，且 $A C = \sqrt{3}, A B = 4, B D = 5$ ，则 $|C D| =$

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15、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 1, μ \neq 0$ 时， $V_{D_{1} - A_{1} B P} = V_{D_{1} - A_{1} C P}$ B、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $A_{1} B P$ 截正方体所得的截面的面积为 $\frac{9}{2}$ C、若 $λ = \frac{1}{2}$ 且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B B_{1}}$ ，则当 $P A + P E$ 取得最小值时， $μ = \frac{1}{4}$ D、若点P在以 $A_{1} B$ 的中点O为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 $π$

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16、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ ， $C_{2} : {(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $r = 1$ 且两圆内切，则圆心 $C_{2}$ 的轨迹方程为 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 9$ B、若 $m = n = 1, r = 3$ ，则两圆有3条公切线 C、若 $m = n = 1, r = 3$ ，则两圆的公共弦所在直线的方程为 $3 x + 4 y - 16 = 0$ D、若 $m = n = 0, r = 1$ ， $A B$ 为圆 $C_{2}$ 的直径， $P$ 为圆 $C_{1}$ 上的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的最大值为 $\sqrt{41} + 4$

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17、下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x - 1$ 在 $y$ 轴上的截距为 $1$ B、直线 $l_{1} : a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : x + (a - 1) y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、经过定点 $A (0, 2)$ 的直线都可以用方程 $y = k x + 2$ 表示 D、点 $C (2, 3)$ 关于直线 $x - y = 1$ 的对称点是 $(4, 1)$

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18、数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过 $△ A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 作它的外接圆的切线分别和边 $B C, C A, A B$ 所在的直线相交于点 $P, Q, R$ ，则三点 $P, Q, R$ 在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系 $x O y$ 中若某三角形三个顶点的坐标分别为 $A (0, 1), B (- 2, 0), C (0, - 4)$ ，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 8 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 8 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 8 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 8 = 0$

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19、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的焦点， $A$ ， $B$ 分别是 $C$ 上第二、四象限上的点．若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A B$ 的中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、0 C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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