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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, 1), \vec{c} = (1, - 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $(x \vec{a} + y \vec{b}) / / \vec{c}$ ，且 $x, y$ 为非零实数，求 $\frac{x}{y}$ 的值.

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2、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} B + 2 \sin^{2} A - \sin^{2} C = 0$ ，若 $\tan B = x \tan C$ ，则实数 $x$ 的值为.

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3、 $E$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的点， $\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C} = 3 \vec{B E}$ ，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

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4、下列说法正确的有（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、已知 $\vec{e_{1}} \vec{e_{2}}$ 不共线，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 与向量 $\vec{n} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 共线，则实数 $k = \frac{1}{2}$ C、设 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (6, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $t$ 的取值范围为 $(- 4, 9) \cup (9, + \infty)$ D、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{7}{6} \vec{b}$

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则 $△$ $A B C$ 为等腰三角形 C、 $A = 60 °$ ， $a = 15$ ， $b = 16$ ，则 $△$ $A B C$ 有两解 D、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△$ $A B C$ 可以是钝角三角形

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6、以下正确的有（）

A、 $\sin 10 ° \cos 20 ° \cos 40 ° = \frac{1}{4}$ B、 $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °) = 1$ C、函数 $f (x) = \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ 的最大值为2 D、 $\frac{2 \cos 10 ° - \sin 20 °}{\cos 20 °} = \sqrt{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ，若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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8、图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点 $P$ 在圆上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的值为（）

A、23 B、29 C、21 D、24

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9、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点， $D C = 5$ ， $A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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10、四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $B C = 3 B F$ ，连接 $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\cos ∠ E M F =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$

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11、被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度 $M N$ ，在泗水阁旁边找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $28 m$ ，在底面上的点 $C$ 处（ $B$ ， $C$ ， $N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，泗水阁顶部 $M$ 的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15 °$ ，则泗水阁的高度约为（）

A、 $42 m$ B、 $52 m$ C、 $56 m$ D、 $60 m$

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12、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若 $\sin (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\cos β = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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15、某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
2025年3月
2025年4月
2025年5月
2025年6月
2025年7月
2025年8月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y /$ 千辆
6
7
10
11
12
14

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；

(2)、该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 238, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

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16、如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $S A B$ ， $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ， $△ S A B$ 是等边三角形．

(1)、若 $E$ 为棱 $S D$ 上一点，直线 $A S$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ ，证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = S A = 2$ ，直线 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 12, a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ．

(1)、证明：存在非零实数 $k$ ，使得数列 $\{a_{n + 1} + k a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $2 a \sin A + b \sin C = m c \sin A \sin B$ ．
（1）当 $A = \frac{2 π}{3}$ 时， $m$ 的取值范围是．
（2）当 $m$ 取得最小值时， $\tan A =$ ．

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19、已知过原点 $O$ 的直线与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7, S_{9} = 117$ ，则 $a_{11} =$ ．

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时间	2025年3月	2025年4月	2025年5月	2025年6月	2025年7月	2025年8月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y /$ 千辆	6	7	10	11	12	14