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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = - 3^{n}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2} = - 1$ B、数列 $(a_{n} + 3^{n})$ 是等比数列 C、 $S_{n} = \frac{2^{n + 3} - 3^{n + 1} - 5}{2}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 中存在最小项

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2、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{2 m - 1} + \frac{y^{2}}{7 - 2 m} = 1$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的焦距为4 B、若 $m = 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{7} x$ C、若曲线 $C$ 表示椭圆，则 $\frac{1}{2} < m < \frac{7}{2}$ D、 $m > 4$ 是曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线的充分不必要条件

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3、已知集合 $M = {(x, y) | x^{4} + a x + a - 2025 = 0$ 且 $x y + y = 2024}$ ，若M中任意元素均在曲线 $y = x^{3}$ 的下方，则符合条件的整数a的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、2025

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4、已知把函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ （ $ω > 0$ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有三个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{2}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{5}{2}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{11}{6}, \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{11}{6}, \frac{5}{2}]$

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5、记 ${(2 x + 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，若 $f (x) = a_{2025} + a_{2024} x + \dots + a_{0} x^{2025}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、1 B、 $2^{2025}$ C、 $4^{2025}$ D、 $5^{2025}$

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6、已知直线 $x + y = 2$ 与坐标轴分别交于A，B两点，在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ $(a > 0)$ 上仅存在一点P，使 $P A ⊥ P B$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{sin x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ C、 $y = \frac{cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (3, 6)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $- 1$ 或 $- 5$ D、无法确定

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9、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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10、已知集合 $M = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x| y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $\{1, 2\}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ P A B$ 为锐角三角形， $P A = A B = 2$ ， $P B + B C = 4$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，直线 $B E$ 与 $l$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求线段 $B Q$ 长度的最小值；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $Q D$ 所成角为 $60 °$ ．
（ⅰ）求平面 $P C D$ 与平面 $Q C D$ 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A D E$ 的外接球的表面积．

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13、某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为 $3 : 1 : 2$ ．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．

(1)、求面试号码为3的学生来自A校的概率；

(2)、记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；

(3)、求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点M在C上， $M F_{2} ⊥ x$ 轴，且 $|M F_{2}| = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交C于不同的两点A、B， $A H ⊥ M F_{2}$ 于点H，证明：直线HB过定点．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a sin B + \sqrt{3} b cos A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、设点D为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3$ 、 $c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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16、已知在圆锥 $P O$ 中，高 $P O$ 长为 $2$ ，底面圆的直径 $A B$ 长为 $8$ ，点 $M$ 为母线 $P B$ 的中点．过点 $M$ 用平行于母线 $P A$ 的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点 $M$ 的距离为．

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17、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 20$ ， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，则 $S_{6} =$ ．

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18、若复数z满足 $i^{3} \cdot z = 1 - i$ ，则复数 $|z| =$ ．

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19、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，上底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内（包含边界）运动，且 $A P = 2 \sqrt{7}$ ， Q为 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C Q} = 3 \vec{Q C_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、高为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，底面半径为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的圆柱可以放进该棱台内 C、点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{3} π$ D、过点 $A, B, Q$ 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 $\frac{3 π}{2}$

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20、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x + y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 2$ B、数列 $\{f (n)\}$ 单调递减 C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、数列 $\{f (n)\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} = 2^{n} - 1$

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