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相关试卷

1、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、求过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

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2、如图，四面体 $A B C D$ 的各棱长均为2， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B C$ 的中点，设 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ；则两条异面直线 $B E$ ， $D F$ 所成角的余弦值为．

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3、甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为．

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4、某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为 $\frac{3}{7}$ .若它连续尝试投送两次，则（）

A、事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B、事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C、事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D、该机器人至少成功投放一次的概率为 $\frac{33}{49}$

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5、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3 \sqrt{5}$ B、与 $\vec{a}$ 同向共线的单位向量是 $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$ C、若直线l的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面α的法向量为 $\vec{m} = (4, 2, k)$ ，且 $l // α$ ，则实数 $k = - 2$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{10} \vec{b}$

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6、两条平行直线 $a x - 2 y + 1 = 0$ 与 $2 x - 4 y + 7 = 0$ 之间的距离为（）

A、6 B、5 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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7、设向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 4, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 6$ D、6

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8、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为1，则数据 $3 x_{1} - 1$ ， $3 x_{2} - 1$ ， …， $3 x_{n} - 1$ 的方差为（）．

A、1 B、3 C、8 D、9

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9、数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数 $n$ 为（　　）

A、2 B、4 C、8 D、9

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10、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0 且 a \neq b)$ ，过 $C$ 外一点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．若满足 $k_{1} \cdot k_{2} = k (k \in R 且 k \neq 0)$ ，则称点 $P$ 的轨迹为 $C$ 的 $k$ -相关曲线．特别地，当 $k = - 1$ 时， $P$ 的轨迹为一个圆，且满足方程 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这样的圆被称作为蒙日圆．（注： $M (x_{0}, y_{0})$ 为 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ 上任一点，则 $M$ 处的切线方程： $m x_{0} x + n y_{0} y = 1$ ）．

(1)、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (0 < a < 1)$ 与其 $- 1$ -相关曲线 $C_{2}$ ，点 $P, Q$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上点，记 $d = {|P Q|}_{min}$ ，用含 $d$ 的式子表示 $a$ （直接写出结果）；

(2)、设椭圆 $C_{3} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，其 $2 -$ 相关曲线 $C_{4}$ ，求 $C_{4}$ ；

(3)、设椭圆 $C_{5} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与其 $k -$ 相关曲线 $C_{6} (a > b > 1, k > \frac{b^{2}}{a^{2}})$ ，设 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 在第一象限的交点为 $M$ ，过 $M$ 分别作 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 的切线 $l_{1}, l_{2}$ ，满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．设 $C_{5}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，满足 $cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值．

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11、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C, ∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形．

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $E - A C D$ 外接球上一点，求点 $T$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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12、动点 $M (x, y)$ 与定点 $(\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它到定直线 $l : x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 的距离比为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求动点 $M (x, y)$ 的轨迹方程；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，与（1）中所求点 $M (x, y)$ 的轨迹交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} \geq 4$ （其中 $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的取值范围．

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13、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且 $\vec{B_{1} E} = λ \vec{B_{1} C}$ ，

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，求证： $D E / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $R$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2} R^{2} sin A$ ．

(1)、求 $sin B \cdot sin C$ 的值；

(2)、若 $4 cos B cos C = 1, R = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ A C, A B = A C = A A_{1} = 2$ ，且 $\vec{M B} = 2 \vec{A M}, \vec{A N} = \vec{N C}$ ，过 $B$ 作平面 $α$ ，使 $α / / A_{1} M$ ， $α / / C_{1} N$ ，若 $α \cap B_{1} C_{1} = P$ ，则 $B P =$ ．

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16、已知直线 $l$ 经过点 $P (3, 0)$ ，且与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 2 \sqrt{15}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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17、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则双曲线的离心率是．

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18、底面半径为3，高为6的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱侧面相切，作不与圆柱底面平行的平面 $α$ ，与球切于点 $F$ ，若平面 $α$ 与圆柱侧面相交所得封闭曲线为 $C$ ，则下列命题正确的有（　　）

A、曲线 $C$ 的离心率最大值为 $\frac{5}{13}$ B、曲线 $C$ 的离心率最大值为 $\frac{3}{5}$ C、平面 $α$ 与底面所成夹角正弦最大值为 $\frac{5}{13}$ D、 $F$ 点到底面距离最小值为 $\frac{9}{5}$

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19、已知函数 $f (x) = cos 3 x - cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $- 2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 上的所有零点之和为 $4 π$

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20、将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 3\}, C = \{2, 4, 6\}$ ，则（　　）

A、 $A B$ 与 $C$ 是互斥事件 B、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 C、 $P (A + B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A B + C) = \frac{1}{2}$

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