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相关试卷

1、已知 $f (x) = e^{x}$ ，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (a) \cdot f (2 b) = e^{3}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{9}{2}$ D、9

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2、 $\sqrt[6]{{(3 - π)}^{6}} + {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} - 2^{\log_{2} \frac{9}{4}} =$ （）

A、 $π + \frac{3}{2}$ B、 $\frac{15}{2} - π$ C、 $3 - π$ D、 $π - 3$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2} + 1, x \leq 1 \\ \log_{3} x, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (3)) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{19}$ C、1 D、19

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4、已知 $p : α$ 是第一象限角， $q : \sin α > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且以椭圆上顶点为圆心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆恰好经过椭圆 $C$ 的两焦点.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）过定点 $P (2, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于两点 $A$ 、 $B$ ，椭圆上的点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{O M}$ ，试求 $Δ O A B$ 的面积.

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $P (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆上.
$(1)$ 求椭圆 $C$ 的标准方程；
$(2)$ 若直线 $l : x - y - 1 = 0$ 椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B (O$ 为坐标原点)的面积 $S$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上存在两点 $P$ 、 $Q$ 关于原点对称，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \frac{a^{2}}{2}$ ， $∠ P F_{2} Q = 120^{\circ}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率．

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，在线段BC上存在点 $P$ ，使得有（）

A、 $A P ⊥ B D$ B、 $D_{1} P ⊥ A_{1} D$ C、 $A P / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、 $D P / /$ 平面 $A B D_{1}$

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9、关于 $x$ 的一元二次不等式 $m x^{2} - 2 x + 1 < 0$ 的解集为 $(a, b)$ ，则 $4 a + b$ 的最小值是（）

A、9 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $3$

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10、命题 $p : \forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - 1 < 0$ B、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 < 0$ C、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ D、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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11、设函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且对任意的正实数 $x$ 、 $y$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 恒成立，已知 $f (16) = 4$ ，且 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$

(1)、求 $f (1)$ 与 $f (2)$ 的值

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

(3)、解不等式 $f (x) + 1 > \frac{1}{2} f (12 x - 8)$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 6]$ 单调递减；

(2)、若 $g (x)$ 是奇函数，其定义域为 $[- 6, - 2] \cup [2, 6]$ ，当 $x \in [2, 6]$ 时， $g (x) = f (x)$ ，求 $x \in [- 6, - 2]$ 时， $g (x)$ 的解析式，并求 $g (x)$ 的最大值和最小值．

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13、若函数 $y = \frac{k x + 2022}{k x^{2} + k x + 3}$ 的定义域是 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14、（多选）设正实数 $a ， b$ 满足 $a ＋ b ＝ 1$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $\sqrt{a b}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值4 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1, x \in [0, 2]$ ，函数 $g (x) = a x - 1$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，对于任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $g (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3] \cup (3, + \infty)$

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16、若不等式 $\frac{a - 5}{x - 2} > 1$ 的解集为 ${x ∣ 2 < x < 4}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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17、已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 5 m - 2) x^{m}$ 是定义域上的奇函数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ 或3 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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18、已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = \{x | x (x - 1) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、R

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19、某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量 $t$ （万件）与广告费用 $x$ （万元）之间的关系为 $t = 25 - \frac{k}{x + 2}$ .已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为 $19$ 万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入 $12$ 万元.另外，厂家每年还需投入 $30$ 万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、试求该厂家的年总成本 $y$ （万元）与广告费用 $x$ （万元）之间的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，厂家的年利润 $W$ （万元）满足 $W = y - 2 x$ ，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润 $W$ （万元）最高？

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20、已知函数 $f (x)$ 为二次函数， $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 3)$ ，对称轴为 $x = 1$ ，函数 $f (x)$ 在R上最小值为-4.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若在区间 $[- 1, 3]$ 上，不等式 $f (x) > 2 x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $F (x) = f (x) + (3 - a) x + 4$ 在 $(0, 3)$ 上只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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