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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为2， $A D = 2$ ， $E 、 F$ 分别是 $P B$ 和 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积．

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2、柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，由 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ 得到 ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ，当且仅当 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ 时取等号.现已知 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\sqrt{2 a + 4} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为.

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3、已知向量 $\vec{a} = (- t, - 1)$ ， $\vec{b} = (t, 16 t)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围为．

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4、已知一个圆台的轴截面为梯形 $A B C D$ ，若 $A B = 2 C D = 4 ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为．

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5、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b = \sqrt{3}$ ，且 $b sin C cos C + c sin C cos B = \sqrt{3} a cos C$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{2}$ B、 $C = \frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积可以是1 D、 $△ A B C$ 的周长可以是3

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6、下列命题中正确的有（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C、有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.

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7、已知 $A, B$ 分别是 $x, y$ 轴正半轴上的两个动点，且 $A B = 1$ ，如图，以 $A B$ 为边构造正方形 $A B C D$ ，分别过点 $C, D$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足依次为 $E, F$ ，当点 $A$ 由 $(1, 0)$ 向左运动到原点的过程中，四边形 $C E F D$ 周长取得最大值时，点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0)$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 为三个内角，则“ $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、将函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得函数图象与函数 $y = cos 2 x$ 的图象重合，则实数 $m$ 的最小值（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10、若 $\frac{λ cos 10 °}{sin 70 °} - tan 20 ° = \sqrt{3}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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11、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，若 $x, y$ 均为正数，则 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、8 D、24

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，若 $\vec{C E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{3}{16}$

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14、已知 $z (3 - i) = 10 (1 + 2 i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、50

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(3, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a > 0$ ，且 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ， $a_{2} = 2$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{n \log_{2} a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18、已知直线 $y = x$ 是函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 和函数 $g (x) = ln x + b$ 图象的公切线，则 $2^{a} + 3 b =$ .

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19、若根据样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{15}, y_{15})$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 150$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 2} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = \frac{1}{4}$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n} - \frac{1}{2^{n}}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 D、 $\{\sin a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和小于1

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