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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - 2$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ $(a \in R)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，交点横坐标为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \geq x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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2、直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 $x$
1
2
3
4
5
带货金额 $y /$ 万元
350
440
580
700
880

(1)、计算变量 $x, y$ 的相关系数 $r$ （结果精确到0.01）.

(2)、求变量 $x, y$ 之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据： $\bar{y} = 590, \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 176400$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1320, \sqrt{441000} \approx 664$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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3、现有n（ $n > 3$ ， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ $k = 1$ ， 2，3，…，n）个袋中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是 $\frac{4}{9}$ ，则 $n =$ .

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4、 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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5、圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A、圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B、圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{2}{3}$ C、圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{1}{3}$ D、圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 $\frac{2}{3}$

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6、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

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7、已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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8、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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9、在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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10、 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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11、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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12、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足对于给定的正数 $λ$ ， $μ (λ < μ)$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $λ \leq a_{n} S_{n} \leq μ$ （ $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和），则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 3)$ 稳定数列”，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}$ 的取值范围.

(2)、若 $a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 2)$ 稳定数列”.

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”，证明 $\forall n \in N^{*}$ ， $λ n \leq S_{n}^{2} < 2 μ n + a_{1}^{2}$ ．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $A (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程.

(2)、设B为椭圆C的右顶点，过点 $P (1, 0)$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.
（ⅱ）求 $△ B M N$ 的面积的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + a x - ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E是PC的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若 $A B = A P = 2$ ，求二面角 $P - B D - E$ 的余弦值.

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16、某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200

(1)、任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；

(2)、依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、若对于任意的 $a \in R$ ，关于x的方程 $|sin x + cos x| + |sin x cos x| = m$ 在 $[a,π + a]$ 上始终有解，则m的取值范围为.

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18、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为.

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19、函数 $f (x) = (x + 3) {(x - 1)}^{2}$ 的极大值点为.

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20、记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，已知 $f (1) = e$ ，且 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) < f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) > 1$ B、 $f (2) > e^{2}$ C、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $f^{'} (x) > - f (x)$ D、 $f (x)$ 可能为二次函数

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义肢类型	满意度		合计
义肢类型	满意	不满意	合计
传统义肢	60	40	100
智能义肢	80	20	100
合计	140	60	200

月份 $x$	1	2	3	4	5
带货金额 $y /$ 万元	350	440	580	700	880

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828