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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时，证明：当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{a} f (x) < e^{x - 1} - 1$ 恒成立．

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2、已知 ${(x + \frac{a}{x})}^{n} (a \neq 0)$ 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列.

(1)、求 $a$ 和 $n$ 的值；

(2)、若 $a > 1$ ，且 $x = 2$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{2 n}$ 被5除的余数；

(3)、若 $a < 1$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中系数最大的项.

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3、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ；，请你根据上面探究结果，计算 $f (\frac{1}{2013}) + f (\frac{2}{2013}) + f (\frac{3}{2013})$ $+ \dots + f (\frac{2012}{2013}) =$ ．

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4、 ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为.

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5、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (\frac{1}{4}) < f (\frac{13}{25})$ C、若 $a < x f (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{2 e})$ D、当 $\frac{1}{e} \leq x \leq e^{2}$ 时，若方程 $f (x) = \frac{b}{x} (b \in R)$ 有且只有一个根，则 $- \frac{1}{e^{2}} < b \leq 2 e^{4}$

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6、已知 ${(3 x - \frac{1}{3})}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）

A、 $n = 11$ B、展开式的二项式系数和为 $2^{12}$ C、展开式的各项系数和为 ${(\frac{8}{3})}^{12}$ D、 $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \dots + \frac{a_{n}}{3^{n}} = \frac{2^{11} + 1}{3^{11}}$

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7、若直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 是曲线 $y = \ln x + 2$ 与曲线 $y = e^{x} + b (b \in R)$ 的公切线，则 $b =$ （）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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8、函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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9、计算： $A_{5}^{2} \times 3! =$ （）

A、120 B、90 C、60 D、30

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10、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + 3, g (x) = k x - k + 2, (a 、 k \in R)$ ，

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x) > \frac{g (x)}{x}$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 时恒成立，求整数 $k$ 的最大值.

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11、已知函数 $f (x) = \cos x + x^{2} - 4$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f^{'} (0) + f^{'} (\frac{π}{2})$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f^{'} (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程；

(3)、求 $f (x)$ 的最值.

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{3} = 6$ ， $a_{6} = 12$ ，且 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n} + 1, n 为偶数 \\ 2^{a_{n}} ， n 为奇数 \end{cases}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $T_{n}$ ，求 $T_{20}$ 的值(结果可以用幂的形式表示）.

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13、已知函数 $f (x) = a \ln x + e^{x}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围为．

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14、已知随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}, P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) =$ ．

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15、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是．

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = - 2$ ， $a_{3} = - 8$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $a_{4} + a_{5} = - 12$ C、 $S_{6} = 42$ D、数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 是公比为4的等比数列

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17、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，则该圆的面积为（）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $5 π$ D、 $\sqrt{5} π$

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18、设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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19、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、74 B、 $- 74$ C、64 D、 $- 64$

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 f' (0) s i n x$ ，则 $f' (0) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $1$

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