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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且满足 $c cos B + b cos C = \frac{a}{2 cos A}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求锐角 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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2、已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1)（n+2)，则它的前n项和为．

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3、若圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + m = 0$ 有且仅有三条公切线， $m =$ ．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的动点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $P A_{1}$ 和 $P A_{2}$ 的斜率之积为定值 $- \frac{5}{9}$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为-1 C、若 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为5，则 $tan ∠ A_{1} P A_{2} = - \frac{9}{2}$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与 $x$ 轴交于点 $M (\frac{2}{3}, 0)$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 且 $f (1) = 0$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{ln x}{x^{2}}$ B、过原点且与 $f (x)$ 相切的直线方程为 $y = \frac{1}{3 e} x$ C、不等式 $(x - \frac{1}{2}) f (x) > 0$ 的解集是 $(1, + \infty)$ D、若 $k < f (x)$ 恰有两个整数解，则k的取值范围是 $[\frac{ln 2}{8}, \frac{ln 3}{9})$

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6、设 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是该双曲线右支上一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $M (\frac{c}{4}, 0)$ ，令 $∠ P F_{1} F_{2} = α, ∠ F_{1} P F_{2} = β$ ，若 $sin (2 α + β) = sin α$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7、已知平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $C (3, 4)$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是（）

A、 $[15, 35]$ B、 $[- 15, 35]$ C、 $[16, 36]$ D、 $[- 16, 36]$

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8、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ), (x \in R)$ 的图象的一部分如下图所示，其中 $A > 0, ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，为了得到函数 $f (x)$ 的图像，只要将函数 $g (x) = 2 (\cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}), (x \in R)$ 的图象上所有的点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

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9、为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 $x$ （单位： $m^{2}$ ）与水生植物的株数 $y$ （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 $y = k \cdot e^{m x} (k > 0)$ 去拟合 $x$ 与 $y$ 的关系．设 $z = l n y$ ， $x$ 与 $z$ 的数据如表格所示，得到 $x$ 与 $z$ 的线性回归方程 $z = 1.2 x + a$ ，则 $k =$ （）
$x$
3
4
6
7
$z$
2
2.5
4.5
7

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $e^{- 2}$ D、 $e^{- 1}$

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10、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z (1 + i)}{3 - i} = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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11、已知集合 $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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12、已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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13、把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 $A B = A C = 3 ， ∠ B A C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ}$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折至 $△ P B C$ ，使得二面角 $P - B C - D$ 为直二面角．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P, B, C, D$ 在同一个球面上，求该球的半径；

(3)、求平面 $P B D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值．

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14、近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
销量 $y$
33
69
93
129
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 966, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4896, \sqrt{170} \approx 13.04$ $．$

(1)、试根据样本相关系数 $r$ 的值判断该地汽车销量 $y$ 与年份代号 $x$ 的线性相关性强弱（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较强， $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $tan A = \frac{cos B}{1 + sin B}$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆半径为1，当 $△ A B C$ 的面积取最大值时，求 $\frac{b}{a^{2}}$ ．

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{3} |D C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为

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17、 $x {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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18、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、此正四面体的表面积为 $3 \sqrt{3}$ B、此正四面体外接球的表面积为 $6 π$ C、此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D、从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 $\frac{2}{5}$

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图象向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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20、已知 $α \in (0, π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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年份	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4
销量 $y$	33	69	93	129

$x$	3	4	6	7
$z$	2	2.5	4.5	7