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相关试卷

1、已知集合 $A = \{a, b\}$ ，则 $A$ 的子集个数为.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - b}{2^{x} + b}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 m) + f (m^{2} - 2) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、设 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当 $0 \leq x < 2$ 时，是线段 $O A$ ；当 $x \geq 2$ 时，图象是顶点为 $P (3, 4)$ ，且过点 $(2, 2)$ 的抛物线的一部分.

(1)、在图中的直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的解析式；

(3)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间.

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4、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{b + 3^{x}}$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、若 $\exists t \in [0, 6]$ ，使 $f (k - t^{2}) + f (2 t^{2} - 6 t) > 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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5、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 10, a_{1} a_{5} = 9, a_{1} < a_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 3 n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} = 5$ ， $S_{8} = 64$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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7、已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标 $F (1, 0)$ ，斜率为 $- 1$ 的直线l与C相交于A，B．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若 $|A F| + |B F| = 10$ ，求l的方程．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*}),$ 且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时n的值．

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9、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 7$ ，前 $3$ 项之和 $S_{3} = 21$ ，则公比 $q$ 的值是.

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左、右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $6$ B、 $|P F_{1}|$ 的最大值为 $3$ C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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11、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差为d， $a_{10} < 0$ 且 $a_{10} + a_{11} > 0$ 则下列结论正确的有（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{9} = S_{10}$ C、 $S_{19} < 0$ D、 $S_{20} > 0$

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12、小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里，则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（）

A、8 B、9 C、4 D、5

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13、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、过点 $P (2, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$

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15、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则 $E$ 的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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16、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{11} = 24$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是（）

A、36 B、48 C、72 D、24

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17、中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出 $x$ 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 $V (x)$ （单位：万元），已知当 $0 < x \leq 5$ 时， $V (x) = 125$ ；当 $5 < x \leq 20$ 时， $V (x) = x^{2} + 40 x - 100$ ；当 $x > 20$ 时， $V (x) = 81 x + \frac{1600}{x} - 600$ ，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.

(1)、已知2024年该型芯片生产线的利润为 $P (x)$ （单位：万元），试求出 $P (x)$ 的函数解析式；

(2)、请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.

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18、函数 $f (x) = lg (4 x - 1) + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为．

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点O为 $B D$ 的中点，且点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $0 \leq μ \leq 1$ ，则点P的轨迹长度为1 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $A C_{1} ⊥ D_{1} P$ C、若 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ ，则 $V_{P - A_{1} B D} = 2$ D、若 $λ = 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ 时，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ \in [0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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20、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的增函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- 1, \frac{1}{2})$

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