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相关试卷

1、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), tan 2 α = - \frac{4}{3}, tan (α + β) = 7$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $tan α = 2$ B、 $tan β = \frac{1}{3}$ C、 $β = α + \frac{π}{4}$ D、 $β = α - \frac{π}{4}$

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2、将函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (φ > 0)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到奇函数，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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3、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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4、使式子 ${log}_{(2 x - 1)} (2 - x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $\frac{1}{2} < x < 2$ D、 $\frac{1}{2} < x < 2$ ，且 $x \neq 1$

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5、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $c < 0$ C、 $a + b + c < 0$ D、 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 1\}$

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6、已知集合 $A = \{y ∣ y = {log}_{2} x, x > 1\}, B = \{y |y = \frac{1}{2^{x}}, x > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{y |0 < y < \frac{1}{2}\}$ B、 ${y ∣ 0 < y < 1}$ C、 $\{y |\frac{1}{2} < y < 1\}$ D、 $\emptyset$

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7、已知 $f (x) = |lg x|$ ，若 $a = f (\frac{1}{4}), b = f (\frac{1}{3}), c = f (2)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8、在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} + 1}$

(1)、求证 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{2^{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 4^{n} + 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}, k (b_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值．

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P C = A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为直线 $l$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $l$ 上存在一点 $Q$ （与 $B$ 都在 $A C$ 的同侧），且直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $P B Q$ 与平面 $A E F$ 所成的锐二面角的余弦值．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $c - 2 a \cos A \cos B = 2 b \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围．

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12、已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为．

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ， $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M$ 为平面 $A B C D$ 内一点（异于点 $A$ ），且 $A M < 1$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C M ⊥$ 平面 $P A B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $P B$ 与 $A M$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $A M = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - B C M$ 的体积最大值为 $\frac{1}{4}$ D、当 $A M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，以 $P$ 为球心， $P M$ 为半径的球面与四棱锥 $P - A B C D$ 各面的交线长为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} π$

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14、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的定义域都是R ，且满足 $f^{'} (2 x) + f^{'} (- 2 x) = 0$ ， $f (2 - x) - f^{'} (x) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(2,1)$ 中心对称 B、 $f^{'} (x)$ 为周期函数 C、 $\sum_{i = 1}^{8095} f (\frac{i}{2024}) = \frac{8095}{2}$ D、 $y = f^{'} (2 - x)$ 是偶函数

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15、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $f (0)=2008$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足 $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ， $f (x + 6) - f (x) \leq 63 \times 2^{x}$ ，则 $f (2008)=$

A、 $2^{2005} + 2004$ B、 $2^{2007} + 2006$ C、 $2^{2009} + 2008$ D、 $2^{2008} + 2007$

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16、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ， $f (1) = 0$ （若 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f (x) = ln x + c$ ， c为常数），则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) < f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{3})$ B、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 取得极小值，极小值为 $\frac{1}{2 e}$ C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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17、设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面， $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线，则下列条件中可以推出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ B、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $α \cap β = n$ C、 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ D、 $m ∥ n$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$

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18、已知集合 $A = \{- 1, 2\}, B = {x | m x - 1 = 0, m \in R}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则所有符合条件的实数 $m$ 组成的集合是（）

A、 $\{- \frac{1}{2}, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, \frac{1}{2}\}$

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19、与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同焦点，且长轴长为 $4 \sqrt{5}$ 的椭圆的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

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20、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D = {1, 2, 3, 4}$ ，值域 $A = {5, 6, 7}$ ，则函数 $y = f (x)$ 为增函数的概率是．

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