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1、游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数 $f (x) = \frac{a}{2} (e^{\frac{2 x}{a}} + e^{- \frac{2 x}{a}})$ ，其中 $a > 0$ ，则下列关于悬链线函数 $f (x)$ 的性质判断中，正确的有（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的最小值为a D、 $f (x)$ 的单调增区间为 $[0, + \infty)$

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2、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 4\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $\{x | x > - 12\}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}\}$ D、 $a + b + c > 0$

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3、下列说法中正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，则 $f (0) = 0$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象与y轴最多有一个交点 C、若 $y = f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 16 x + 5$ ，则 $f (x) = 4 x - 1$ D、式子 $\log_{2} 27 \times \log_{3} 8 - 2 \log_{5} 10 - \log_{0.2} 4$ 化简的结果为7

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (2 a - 1) x + 4 a (x < 1) \\ \frac{a}{x} (x \geq 1) \end{cases}$ ， $f (x)$ 对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立，求a的取值范围（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ ，且 $- 2 < f (1) < 3, - 4 < f (- 2) < 8$ ，则 $f (- 1)$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, \frac{7}{3})$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(- \frac{4}{3}, 4)$ D、 $(- \frac{4}{3}, \frac{7}{3})$

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6、函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3^{x} - 3^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 1$ 是偶函数，则 $y = f (x)$ 的单调增区间是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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8、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $B C = A B_{1} = 2$ ．
（1）求证：面 $A B C ⊥$ 面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）在线段 $C_{1} A_{1}$ 上是否存在一点M，使得二面角 $M - C B_{1} - C_{1}$ 为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{C_{1} M}{C_{1} A_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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9、在平面直角坐标系Oxy中，直线 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、考虑以O为坐标原点的坐标平面，对于平面上任意两点 $S (x_{1}, y_{1}), T (x_{2}, y_{2})$ ，如果 $|x_{1} - x_{2}| \geq 1$ 或 $|y_{1} - y_{2}| \geq 1$ 成立，则称S和T相距很远．设不等式 $0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3$ 表示的正方形区域为D，其中两个顶点为 $A (3, 0), B (3, 3)$ ．已知点P的横坐标为a且满足下列条件 $(i) (ii)$ ，点Q满足下列条件 $(ⅲ) (ⅳ)$ ．
（i）点P在区域D内，且在抛物线 $y = x^{2}$ 上；
（ⅱ）点P与O，A，B三点都相距很远；
（ⅲ）点Q在区域D内；
（iv）点Q与O，A，B，P四点都相距很远．
解答下列问题：

(1)、求a的取值范围；

(2)、求点Q的可行域构成的面积 $f (a)$ ；

(3)、求a在变化过程中，a取何值时， $f (a)$ 取最小值；

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11、已知 $a \in R$ ，二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 2 a$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值 $g (a)$ ；

(2)、设不等式 $f (x) > 0$ 的解集为A，又知集合 $B = \{x | 1 < x < 3\}$ ．若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求a的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{5^{x} + 1}$ ．

(1)、试用函数单调性定义证明函数 $f (x)$ 在R上单调递增；

(2)、求不等式 $f (m^{2} - 2 m) < f (m - 2)$ 的解集．

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13、已知区间 $A = (2, 4), B = (a, 5)$ ．
（1）若 $A \cap B = (3, 4)$ ，求实数a的值；
（2）若 $A \cup B = (2, 5)$ ，求实数a的取值范围．

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14、（1）求值： $2 \times {(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})}^{6} + {(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 \times {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(2024)}^{0}$ ；
（2）已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值．

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15、① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，② $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则满足上述两个条件的函数为（写出一个即可）；

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16、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(3, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则这个函数的解析式为 $f (x)$ =

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17、已知常数 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a x}$ 的图象经过点 $P (p, \frac{6}{5}), Q (q, - \frac{1}{5})$ ，且 $2^{p + q} = 36 p q$ ，则（）

A、 $a = 6$ B、 $f (x)$ 的图象与 $y = 1$ 无限接近但又不与该直线相交 C、 $\forall x \in (2, + \infty)$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{a - 2}$ 恒成立 D、方程 $f (2 x) = f (x)$ 有且只有一个实数解

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18、已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x) g (x)$ 为奇函数 B、 $y = f (x) g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $y = f (g (x))$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 D、 $y = f (x) g (x)$ 的值域为 $R$

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19、已知 $a$ ， $b$ 为正数，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为3

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20、设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝ $\{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$
a∨b＝ $\{\begin{matrix} b, a \leq b \\ a, a > b \end{matrix}$ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)

A、a∧b≥2，c∧d≤2 B、a∧b≥2，c∨d≥2 C、a∨b≥2，c∧d≤2 D、a∨b≥2，c∨d≥2

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