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相关试卷

1、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 与直线 $l : y = m x + 2 m (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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2、如图所示，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，且满足 $a = 2 b, O$ 为坐标原点，平行于 $O M$ 的直线交椭圆 $E$ 于两个不同的点 $A, B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $A M$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．证明 $∠ B M C$ 的平分线所在直线与 $x$ 轴垂直．

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3、某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩 $($ 单位：分 $)$ 进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[30, 50), [50, 70), [70, 90), [90, 110), [110, 130), [130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率.

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4、已知双曲线C与 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $M (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ．

(1)、求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；

(2)、已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 上，求实数m的值．

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5、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2, A A_{1} ⊥ A B, A C ⊥ A B$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，E为 $A A_{1}$ 的中点，F为CD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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6、2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80)$ ， $[80, 90), [90, 100)$ 六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；

(2)、估计竞赛成绩不低于60分的概率；

(3)、估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数.

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7、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B C$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，经过点 $A, E, F$ 的平面把正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截成两部分，则截面与 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线段长为.

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8、若直线 $y = x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点，则m的范围是．

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9、已知直线 $l / /$ 平面 $α$ ，且 $l$ 的一个方向向量为 $\overset{⃑}{a} = (2, m, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (1, \frac{1}{2}, 2)$ ，则 $m =$ .

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10、如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $D F / /$ 平面 $P A C$ B、存在点P，使得 $O B ⊥ P C$ C、当 $C D$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，三棱锥 $P - A B D$ 的外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、若M为 $A A_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - A C P$ 的体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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11、已知直线x＝my－1经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的短轴长为 $\sqrt{3}$ B、弦 $|A B|$ 的最小值为3 C、存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点 $(1, 0)$ D、若 $3 \overset{⃑}{A F} = \overset{⃑}{A B}$ ，则 $m = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12、中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球次数
100
55
18
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（）

A、 $P (A) = 0.55$ B、 $P (B) = 0.18$ C、 $P (C) = 0.27$ D、 $P (B \cup C) = 0.55$

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13、在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是棱BC，CC₁的中点，动点P在正方形BCC₁B₁（包括边界）内运动．若 $P A_{1} / /$ 平面AMN，则PA₁的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程为 $\sqrt{5} x + 2 y = 0$ ，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上运动，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 4$ B、8 C、 $2 \sqrt{2} + 5$ D、9

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15、耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中 $x$ 的值为0.004 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70, 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为84分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

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16、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 分别是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量，且 $\vec{a} = (1, 3, 5)$ ， $\vec{b} = (x, y, 2)$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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17、设 $α$ 是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）

A、若 $m \subset α, n \subset α, l ⊥ m, l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l / / m, m / / n, l ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $l / / m, m ⊥ α, n ⊥ α$ ，则以 $l ⊥ n$ D、若 $m \subset α, n ⊥ α, l ⊥ n$ ，则 $l / / m$

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18、已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与 $2 x - 5 y + n = 0$ 互相垂直，垂足坐标为 $(1, p)$ ，则 $m - n + p =$ ( )

A、24 B、－20 C、0 D、20

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19、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，众数为 $c$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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20、设 $S_{n} = {1, 2, \dots, n} \subseteq N_{+}, A \subseteq S_{n}$ ，记 $A (t) = {y = x + t | x \in A}$ ，若 $\exists t_{0} \in S_{n - 1}$ ， $A \cap A (t_{0}) = \emptyset$ ，则称A为 $S_{n}$ 中的一个移位集， $t_{0}$ 为A的一个移位数.记A中的元素个数为| $| A |$ .
（1）判断下列集合是否是 $S_{6}$ 中的移位集.若是，求出相对应的移位数.
① $A = {1, 3, 4, 6}$ ，
② $A = {1, 3, 5, 6}$ ；
（2）若 $S_{9}$ 中所有满足 $| A | = m$ 的集合A都是移位集，求m的最大值；
（3）对任意满足 $| A | = 5$ 的集合A都是 $S_{n}$ 中的移位集，求n的最小值.

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投篮次数	投中两分球的次数	投中三分球次数
100	55	18