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相关试卷

1、已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = a^{x - 1} + x - 3, g (x) = x - 2 + \log_{a} x$

(1)、若 $a = 2, f (m) = m$ ，求m；

(2)、若 $f (m) = - 1, g (m) = - 1$ ，求m；

(3)、若 $f (m) = 0, g (n) = 0$ ，问： $m + n$ 是否为定值（与a无关）?并说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + m}{3^{x} + 1}$ ．
（1）当 $m = 0$ 时，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并给出理由；
（2）若函数 $f (x)$ 为奇函数，求实数 $m$ 的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若关于 $x$ 的不等式 $f [f (x)] + f (a) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知集合 $A = \{1, 4, 7, 10\}$ ， $B = \{x |m < x < m + 9\}$ ， $C = {x | 3 \leq x \leq 6}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时， $A \cup B$ ， $A \cap (∁_{R} C)$ ；

(2)、若 $B \cap C = C$ ，求 $m$ 的取值范围.

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4、已知 $a, b$ 为正实数，且满足 $\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，若存在 $a, b$ 使不等式 $\frac{a}{3} + b < k^{2} - 5 k - 10$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是．

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5、若函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 1}$ 是幂函数，且 $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $f (\sqrt{2}) =$ .

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6、已知 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则下列命题为真命题的是（　　）

A、若 $b c^{2} < a c^{2}$ ，则 $b < a$ B、若 $a^{3} > b^{3}$ 且 $a b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ D、若 $c > b > a > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + 2, x \geq 1 \\ x^{2}, - 2 < x < 1 \end{array}$ ，关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$ C、若 $f (x) = 3$ ，则 $x = - \sqrt{3}$ D、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- 1, 1)$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 是奇函数，定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，又 $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是（　　）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、（ $(- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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9、某网红城市鹅城人口模型近似为 $P = 32 e^{0.015 t}$ （单位：万人），其中 $t = 0$ 表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（）（参考数据： $ln 2 \approx 0.693, ln 3 \approx 1.099, ln 5 \approx 1.609$ ）

A、2037年 B、2047年 C、2057年 D、2067年

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10、已知 $a = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ， $c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则它们的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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11、函数 $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$ 的定义域是（）

A、 $(- 2 ， - 1) \cup (1, 2)$ B、 $(- \sqrt{3}, - 1) \cup (1 ， \sqrt{2})$ C、 $[-2 ， -1) \cup (1, 2]$ D、 $[- \sqrt{2} ， -1) \cup (1, \sqrt{2}]$

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12、已知命题 $p : \forall x > 1$ ， $2 x + 1 > 5$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\forall x > 1$ ， $2 x + 1 \leq 5$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $2 x + 1 \leq 5$ C、 $\exists x > 1$ ， $2 x + 1 \leq 5$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $2 x + 1 \leq 5$

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13、设全集 $U = {0$ ， 1，2，3，4，5， $6}$ ，集合 $A = {1$ ， 2，3， $5}$ ， $B = {2$ ， 3， $4}$ ，则将韦恩图 $(V e n n)$ 图中的阴影部分表示集合是（）

A、 ${1, 5}$ B、 ${2$ ， $3}$ C、 ${4, 5}$ D、 ${0, 6}$

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列，记为 $\{a_{n}^{(1)}\}$ ，依此类推， $\{a_{n}^{(1)}\}$ 的一阶差数列称为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差数列，记为 $\{a_{n}^{(2)}\}$ ， …．如果一个数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶差数列 $\{a_{n}^{(p)}\}$ 是等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为p阶等比数列 $(p \in N^{*})$ ．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．
（ⅰ）求 $a_{1}^{(1)}$ ， $a_{2}^{(1)}$ ， $a_{3}^{(1)}$ ；
（ⅱ）证明： $\{a_{n}\}$ 是一阶等比数列；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 为二阶等比数列，其前5项分别为 $1, \frac{20}{9}, \frac{37}{9}, \frac{78}{9}, \frac{215}{9}$ ，求 $b_{n}$ 及满足 $b_{n}$ 为整数的所有n值．

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 6$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，

(1)、求实数m的所有取值组成的集合A；

(2)、试写出 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的最大值 $g (m)$ ；

(3)、设 $h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 2$ ，令 $F (m) = \{\begin{array}{l} g (m), m \in A \\ h (m), m \in ∁_{R} A \end{array}$ ，若关于m的方程 $F (m) = a$ 恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

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16、第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?

(2)、为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 $x$ 元．公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．

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17、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18、（1）计算 $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{- 4}$
（2）计算 $(2 a^{\frac{2}{3}} \sqrt{b}) (- 6 \sqrt{a} b^{\frac{1}{3}}) \div (- 3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}) + (8 a^{0} \sqrt{b^{3}}) \div (- 2 b^{\frac{1}{2}})$ （式中字母均是正数）．

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19、如图所示，杭师大附中校园里有一块矩形空地 $A B C D$ ，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形 $E F G H$ ），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知 $A B = a (a > 2), B C = 2$ ，且 $A E = A H = C F = C G$ ，设 $A E = x$ ，绿地面积为 $y$ ，若 $2 < a < 6$ ，则绿地面积 $y$ 的最大值为．（用含 $a$ 的式子作答）

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20、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 2 x y$ ，则 $x + \frac{y}{4}$ 的最小值为．

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