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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (0, - 1, 1), B (- 1, - 1, - 2)$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $C$ ，点 $B$ 关于平面 $x O z$ 对称的点为 $D$ ，则向量 $\vec{C D}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, 2, - 1)$ B、 $(1, - 2, 1)$ C、 $(- 1, 0, 1)$ D、 $(1, 0, - 1)$

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2、点 $A (1, 3)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点坐标为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 2)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(4, 2)$

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3、若直线 $l : x = \tan \frac{π}{3}$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $α =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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4、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (4, 2)$ ，顶点 $C$ 在 $x$ 轴上， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x + 2 y + m = 0$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若 $A C$ 边上的中线所在的直线方程为 $x - y - 4 = 0$ ，求 $m$ 的值.

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5、（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = 4$ ，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）

A、点P的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、直线 $l_{1} : x + 2 y - 4 = 0$ 是“最远距离直线” C、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $| P A | + 2 | P F |$ 的最小值为5 D、点P的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

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6、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1, \sqrt{3})$ ，则 $cos α =$ （）

A、-1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、写出弦长公式.

(2)、求 $C$ 的方程；

(3)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值；

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8、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} + a_{7} = 40, S_{5} = 70$ .

(1)、写出等差数列的通项公式和求和公式.

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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10、函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ，则 $f (- 4) =$ ．

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11、设函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + a x - 1$ ，则（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a \geq \frac{1}{3}$ 时， $f (x)$ 无极值点 C、 $\forall a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 对称中心的横坐标为定值 D、 $\exists a \in R$ ，使 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数

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12、已知过点 $A (1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $| M N | = 2$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{1}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{4}$

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13、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $| z + i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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14、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ∥ (μ \vec{a} + \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ μ = 1$ B、 $λ μ = - 1$ C、 $λ + μ = - 1$ D、 $λ + μ = 1$

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 4\}$ ，集合 $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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16、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、四叶草曲线有四条对称轴 B、设 $P$ 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过 $P$ 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{4}$ D、四叶草曲线的面积小于 $\frac{π}{4}$

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17、设 $\frac{π}{4} < α < \frac{3 π}{4}$ ， $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、若复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 ln x - \frac{1}{2} m x^{2} + 1 (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性

(2)、当 $m = 1$ 时，证明： $f (x) < 1$ .

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 ({sin}^{2} A + {sin}^{2} C) = 2 sin A sin C + 8 sin A sin C cos B$ ．

(1)、证明： $a + c = 2 b$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{11}{14}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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