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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a - 1 - \frac{2}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为定义域上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $g (x) = m \cdot 2^{x} - (m - 1) f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有2个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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2、已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $tan (α + \frac{π}{3}) = \frac{13 \sqrt{3}}{9}$ ， $cos (α + β) = \frac{11}{14}$ ．

(1)、求 $sin (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求角 $β$ 的值．

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3、如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形 $O B C$ 去掉扇形 $O A D$ 构成）种植花卉，已知 $O B = 20$ 米， $O A = x$ 米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为 $θ$ 弧度．

(1)、求 $θ$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、记花卉周围栅栏的长度为 $y$ 米，试问 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小?并求出最小值．

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4、（1）计算： ${log}_{2} 3 \times {log}_{3} 4 + lg 5 \times lg 20 + {(lg 2)}^{2}$ ；
（2）已知 $x {log}_{2} 3 = 1$ ，求 $9^{x} + 9^{- x}$ 的值．

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5、函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ ，已知点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 为函数 $f (x)$ 的一个对称中心， $x = \frac{7 π}{12}$ 为 $f (x)$ 的一条对称轴，且函数在 $[\frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值为．

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6、设函数 $y = f (x)$ ， $x \in R$ ，且 $f (0) = 3$ ， $\frac{f (\frac{1}{2})}{f (0)} = 3$ ， $\frac{f (1)}{f (\frac{1}{2})} = 3$ ， $\dots$ ， $\frac{f (\frac{n}{2})}{f (\frac{n - 1}{2})} = 3$ ， $n \in N^{*}$ ，写出符合条件的函数的解析式．

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7、幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m + 3}$ 为偶函数，则不等式 $f (3 x - 1) > f (x + 2)$ 的解集为．

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8、已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2} - x - 1)$ ， $g (x) = \frac{- 2}{1 + 2^{x + 1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(- 1, - 1)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、若函数 $G (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[- 3, 1]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M + N = - 4$

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9、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2$ 且 $x \neq 1}$ ，集合 $B = {y ∣ - 1 \leq y \leq 2$ 且 $y \neq 0}$ ，下列图象能作为集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、下列函数中最小正周期为 $π$ 的是（）

A、 $y = |cos x|$ B、 $y = tan (x - \frac{π}{4})$ C、 $y = cos |x|$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$

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11、 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 sin (\frac{π}{2} x), 0 \leq x < 1 \\ 3 \cdot 2^{- x + 1} - 1, x \geq 1 \end{array}$ ， $g (x) = 1 - |2^{x} - 1|$ ，若函数 $F (x) = f (g (x)) - a$ 有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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12、已知 $sin (\frac{π}{6} - x) = - \frac{1}{3}$ ，且 $0 < x < π$ ，则 $cos (\frac{2 π}{3} + x) =$ （）

A、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ C、 $- \frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{6}$

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13、任意一个正实数 $N$ 可以表示为 $N = a \times 10^{n} (1 \leq a < 10, n \in Z)$ ，则 $lg N = n + lg a$ ，当 $n > 0$ 时， $N$ 是 $n + 1$ 位数，那么 $2^{90}$ 是多少位数 $(lg 2 \approx 0.301)$ （）

A、27 B、28 C、29 D、30

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14、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$ ，则函数 $y = \frac{f (2 x - 1)}{lg (x - 1)}$ 的定义域为（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 5]$ D、 $(1, 2) \cup (2, 5]$

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16、已知 $a = sin \frac{π}{5}$ ， $b = {log}_{π} 0.2$ ， $c = π^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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17、已知命题 $p : \exists a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数解，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$ 有实数解 B、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 无实数解 C、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数解 D、 $\exists a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$ 无实数解

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18、已知集合 $U = \{x \in N ∣ x \leq 6\}$ ， $A = \{2, 3, 4, 6\}$ ， $B = \{1, 3, 4\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 6\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{3, 6\}$ D、 $\{2, 3, 6\}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (cos x, 2 sin x)$ ， $\vec{b} = (2 cos x, \sqrt{3} cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{11}{5}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，求 $cos 2 x_{0}$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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20、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 16]$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4]$

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