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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $b = 2$ ， $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3} sin C + cos C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 中 $A C$ 上的一点，且满足 $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B D}}{|\vec{B A}|} = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|}$ ，求 $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 的面积之比 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}}$ 的取值范围．

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2、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $O$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ D O C$ 沿 $O C$ 折起，使 $D$ 位于 $P$ 处，且 $∠ P A O = 45 °$ ．

(1)、求证： $O P ⊥$ 平面 $A B C O$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的大小．

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3、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C$ ∥平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - A B_{1} D$ 的体积．

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4、如图，平面四边形 $A B C D$ 由等腰 $△ A B D$ 与等边 $△ B C D$ 拼接而成，其中 $∠ A B D = 30 °$ ， $A B = A D$ ， $B C = 6$

(1)、求 $\vec{C A} \cdot \vec{A D}$ 的值；

(2)、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ ，当 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 取得最小值时，求 $λ$ 的值．

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5、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + m (m + 1) i$ ．

(1)、当实数 $m$ 取何值时， $z$ 是实数；

(2)、当 $m = 1$ 时，复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数 $p, q$ 的值.

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6、已知圆O的半径为1， $P A$ ， $P B$ 为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 $\overset{⃑}{P A} \cdot \overset{⃑}{P B}$ 的最小值是___________

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7、棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体的外接球的表面积为.

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $a \sin B + b \cos A = c$ ，则 $B =$ .

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9、已知 $z$ 是复数，且 $\frac{z + 1}{z - 1}$ 为纯虚数，则（）

A、 $|z| = 1$ B、 $z \cdot \bar{z} = 1$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在实轴上 D、 $|z - 2 - 2 i|$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$

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10、在边长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是一个动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，则线段 $D M$ 的长度可能是（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ D、点 $A (1, 3)$ ， $B (4, - 1)$ ，与向量 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $[1, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, C C_{1}$ 的中点，若 $A A_{1} \cap$ 平面 $D_{1} E F = G$ ， $\vec{A_{1} G} = λ \vec{G A}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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14、雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度 $C D$ ，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $36 m$ ，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在B处测得塔顶部D的仰角为 $15 °$ ，则雷锋塔的高度约为（）

A、 $50 m$ B、 $62 m$ C、 $72 m$ D、 $88 m$

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15、下列各组向量中，能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ ＝（0，0）， $\vec{e_{2}}$ ＝（1，1） B、 $\vec{e_{1}}$ ＝（1，2）， $\vec{e_{2}}$ ＝（－2，1） C、 $\vec{e_{1}}$ ＝（－3，4）， $\vec{e_{2}}$ ＝（ $\frac{3}{5}$ ，－ $\frac{4}{5}$ ） D、 $\vec{e_{1}}$ ＝（2，6）， $\vec{e_{2}}$ ＝（－1，－3）

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16、密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)、在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；

(2)、甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为 $X (X = 1, 2)$ ，求 $X$ 的分布列.

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17、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 (a + 1) e^{x} + 2 a x + 2 a + 1 (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $sin B \cdot sin C = sin A$ ， $a = 2$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 12$ ，求 $A$ .

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19、现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是（用数字作答）.

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A F_{1} B$ 为等边三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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