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相关试卷

1、若 $3 \cos α + 4 \sin α = 5$ ，则 $\tan α$ = ．

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2、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）

A、 $f (0) + f (1) + f (2) = 3$ B、 $g (x + 4) = g (x)$ C、 $f (x + 4) = f (x)$ D、 $g (\frac{1}{2}) = g (\frac{3}{2})$

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3、在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是等腰梯形且与底面垂直， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $A C = B C = 3$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} A ⊥ B C$ B、 $V_{A_{1} - A B C} = 9 V_{B - A_{1} B_{1} C_{1}}$ C、 $V_{A_{1} - A B C} = 2 V_{B - A_{1} C C_{1}}$ D、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{13}{6}$

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4、现有甲、乙两组数据，甲组数据为： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{16}$ ；乙组数据为： $3 x_{1} - 9, 3 x_{2} - 9, \dots, 3 x_{16} - 9$ ，若甲组数据的平均数为 $m$ ，标准差为 $n$ ，极差为 $a$ ，第 $60$ 百分位数为 $b$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、乙组数据的平均数为 $3 m - 9$ B、乙组数据的极差为 $3 a$ C、乙组数据的第 $60$ 百分位数为 $3 b - 9$ D、乙组数据的标准差为 $n$

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5、记正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，已知 $(a_{n} - 1) T_{n} = 2 a_{n}$ ，若 $a_{n} < \frac{1001}{1000}$ ，则 $n$ 的最小值是（）

A、999 B、1000 C、1001 D、1002

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - a x + 1, x < a \\ {(x - 1)}^{2}, x \geq a \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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7、印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现 $30 + 25 = 55$ ， $55^{2} = 3025$ ，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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8、函数 $f (x) = cos 2 x - cos x$ 是（）

A、偶函数，且最小值为－2 B、偶函数，且最大值为2 C、周期函数，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、非周期函数，且在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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9、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 150^{\circ}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b})$

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10、“ $2^{a} > 1$ ， ${log}_{2} b > 1$ ”是“ $2^{a + b} > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知集合 $A = \{x \in Z | |x - 1| < 3\}$ ， $B = \{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 4}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $\frac{\sqrt{3} - i}{z} = 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明：
① $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；
② $k \in N^{*}$ 且 $k \leq n$ 时， $\sum_{i = k}^{n} \frac{1}{i} > \ln \frac{n + 1}{k}$ ；

(3)、判断 $\sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{j!}$ 与 $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} {(\frac{1}{n})}^{i}$ 的大小关系，并证明．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ ，其中B，C在x轴上，以 $E (0, 1)$ 为圆心的圆内切于 $△ A B C$ ，与边AB切于点M，且 $|A M|$ 等于点A到x轴的距离．

(1)、求点A运动轨迹的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最小值．

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15、如图，已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $\sqrt{3}$ ，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径， $O_{2} A / / B C$ ．

(1)、证明： $△ A D O_{2}$ 是等边三角形；

(2)、已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．

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16、现有 $n + 1$ 个球，球的编号从1到 $n + 1$ ，从中任取2个球，取法总数记为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{n} + C_{n + 1}^{n} = a_{n + 1}$ ．

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17、已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x} - x$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若存在 $x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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18、很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是三个25字符的密钥示例：
$JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MB$
$9CG86-9NVW6-2YBJ7-CV6F6-9K289$
$D68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM$
这三个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的 $20 %$ 分位数是．

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19、若 $2 C_{2 n + 1}^{3} = C_{2 n + 2}^{3}$ ，则 $n =$ ．

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20、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (\ln x - 1) (\frac{1}{x + 1} - 1) + \ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e^{2}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(e^{2}, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有极大值 D、 $f (x)$ 无极小值

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