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相关试卷

1、已知 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\overset{⃑}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\overset{⃑}{e_{1}}$ － $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝.

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2、下列选项中哪些是正确的（）

A、 $i^{1} + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots \dots .. + i^{2023} = - 1$ （ $i$ 为虚数单位） B、用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台 C、在△ABC中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则△ABC是钝角三角形 D、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ 的夹角为钝角

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3、 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （ $θ \in R$ ， i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）

A、对任意的 $θ \in R$ ， $|e^{i θ}| = 1$ B、 $e^{i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $e^{iπ} - 1 = 0$ D、 $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$

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4、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ 在区间 $[- 1, m]$ 上有9个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3, 3.5)$ B、 $(3, 3.5]$ C、 $(4.5, 5]$ D、 $[4.5, 5)$

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5、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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6、已知圆锥的高为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{5}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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7、如图，在△ $A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\overset{\overset{}{\to}}{A P} = m \overset{\overset{}{\to}}{A B} + \frac{2}{9} \overset{\overset{}{\to}}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、3

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8、若 $A (1, m), B (m + 1, 3), C (1 - m, 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、0或 $- 5$ D、0或5

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9、已知集合 $A = \{x |x > 0\}$ ，集合 $B = \{x |y = ln (- x^{2} + 16)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(0, 3)$ D、 $[2, 3)$

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10、已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b \geq 24$ B、 $a + b \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ C、 $a - \frac{2}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $b$ 与 $a - 2$ 可以相等

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11、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x - 3 a, x \leq 2 \\ 2 + {l o g}_{a} x, x > 2 \end{matrix}$ ，的最大值不超过1，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{3}, 1)$

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12、已知圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，直线 $l : 2 x - y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A$ 、 $P B$ ，切点为 $A$ 、 $B$ ．
（1）若 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，求 $P$ 点坐标；
（2）若点 $P$ 的坐标为 $(1, 2)$ ，过 $P$ 作直线与圆 $M$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，当 $|C D| = \sqrt{2}$ 时，求直线 $C D$ 的方程；
（3）求证：经过 $A$ 、 $P$ 、 $M$ 三点的圆与圆 $M$ 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

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13、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ .以 $A D$ 为腰作等腰直角三角形 $P A D$ ，且 $P A = A D$ ，将 $△ P A D$ 沿直线 $A D$ 折起，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $M$ 是线段 $P D$ 上一点，且 $P B / /$ 平面 $M A C$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B M$ 夹角的余弦值.

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14、设常数 $a \in R$ ，已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 2) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $3 x + a y + (4 a - 3) = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离．

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15、某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物 $A$ ， $B$ ，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了 $500$ 户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物 $A$ ， $B$ 相互独立．
村庄
农作物
甲村
乙村
A
250
150
B
250
350

(1)、分别估计甲、乙两村选择种植农作物 $A$ 的概率；

(2)、以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取 $2$ 户，求至少有 $2$ 户选择种植农作物 $B$ 的概率；

(3)、经调研，农作物 $A$ 的亩产量为 $800$ 斤、 $900$ 斤、 $1000$ 斤的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物 $A$ ，求这两个农户中，甲村农户种植农作物 $A$ 的亩产量高于乙村的概率．

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16、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 $c (a c o s B - b s i n A) = a^{2} - b^{2}$ .

(1)、求A；

(2)、若a=2，求△ABC面积的最大值.

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17、已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一动点，Q是圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，点 $M (6, 4)$ ，则 $|P Q| - |P M|$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、在坐标平面内，与点 $A (1, 2)$ 距离为3，且与点 $B (3, 8)$ 距离为1的直线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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19、过直线 $l : 4 x + 3 y + 10 = 0$ 上一点P向圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 5 = 0$ 作切线，切点为Q，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 中， $a > 3 b$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ B、 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 1)$

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