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相关试卷

1、设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ B、 $| P F_{1} |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 相切

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2、下列说法中，正确的命题是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1 B、 $E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3$ ， $D (2 X + 3) = 2 D (X)$ C、用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好． D、已知随机变 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, δ^{2})$ ， $P (ξ < 3) = 0.8$ ，则 $P (1 < ξ < 3) = 0.2$

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3、从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）

A、 $\frac{1}{84}$ B、 $\frac{1}{21}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公比为3，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2} =$ （）

A、 ${(3 n - 2)}^{2}$ B、 $\frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ C、 $9^{n} - 1$ D、 $\frac{1}{8} (9^{n} - 1)$

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5、有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（）

A、 $A_{3}^{2} \cdot A_{2}^{2}$ 种 B、 $3 A_{2}^{2}$ 种 C、 $2 A_{3}^{3}$ 种 D、 $A_{4}^{4} \cdot A_{2}^{2}$ 种

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6、抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 过点 $(2, 2)$ ，则焦点坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(\frac{1}{4}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、 $(1, 0)$

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7、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{2}$ 等于（）

A、9 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， S为 $△ A B C$ 的面积，且 $2 S = a^{2} - (b - c)^{2}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{b c}$ 的取值范围．

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9、在路边安装路灯，灯柱 $A B$ 与地面垂直（满足 $∠ B A D = 90 °$ ），灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所在平面与道路垂直，且 $∠ A B C = 120 °$ ，路灯 $C$ 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 $∠ A C D = 60 °$ ，路宽 $A D = 12 m$ ．设灯柱高 $A B = h (m)$ ， $∠ A C B = θ (30 ° \leq θ \leq 45 °)$ ．

(1)、当 $θ = 30 °$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求灯柱的高 $h$ （用 $θ$ 表示）；

(3)、若灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所用材料相同，记此用料长度和为 $S$ ，求 $S$ 关于 $θ$ 的函数表达式，并求出 $S$ 的最小值．

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为角平分线，D在线段BC上.

(1)、求AD的长度；

(2)、过点D作直线交AB、AC于不同点E、F ，且 $\vec{A E} = x \cdot \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \cdot \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的值

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11、在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $P$ 是腰 $A D$ 上的动点，则 $| 2 \vec{P B} - \vec{P C} |$ 的最小值为.

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12、如图，为了测量河对岸的塔 $A B$ 的高度，某人选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $C D = 30 m$ ； $∠ B C D = 3 0^{∘}, ∠ B D C = 10 5^{∘}$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $4 5^{∘}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ .

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13、若 $z_{1} = 1 - i ， z_{2} = \bar{z_{1}} (3 + i)$ （i为虚数单位， $\bar{z_{1}}$ 是 $z_{1}$ 的共轭复数），则 $| z_{2} | =$

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{2}, \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 9$ ，且 $c o s C = \frac{4}{5}$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，设 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} = m$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $S_{△ A B C} = 12$ B、若 $m = 14$ ，则 $| A P |$ 的最小值为2 C、若 $m = \frac{11}{4}$ ，设 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$ D、若 $P$ 在 $△ A B C$ 内部（不含边界），且 $S_{△ P A C} = 2$ ，则 $m$ 的取值范围是 $(- 6, - 2]$

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15、复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，原点为 $O$ ， $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ B、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ C、若 $z = - 3 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$ D、若 $1 \leq | z - 2 i | \leq \sqrt{2}$ ，则点 $Z$ 的集合所构成的图形的面积为 $π$

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16、如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形， $E F / / A B$ ，
$A B = 3 E F = \frac{3}{2} A D = 3$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是正三角形，则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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17、设P为 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A P} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B P$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, t)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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19、如图， $A$ ， $B$ 是单位圆 $($ 圆心为 $O)$ 上两动点， $C$ 是劣弧 $\overset{⏜}{A B} ($ 含端点 $)$ 上的动点 $.$ 记 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ, μ$ 均为实数 $)$ ．

(1)、若 $∠ A O B = 120 °$ 时，当点 $C$ 恰好运动到劣弧 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点时，求 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ 的值．

(2)、若 $∠ A O B = 90 °$ 时，求 $λ + μ$ 的取值范围；

(3)、若 $| 3 \vec{O A} - \vec{O B} | \leq \frac{5}{2}$ ，记向量 $2 \vec{O A} + \vec{O B}$ 和向量 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ，求 ${c o s}^{2} θ$ 的最小值．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $(2 a + c) \cdot \vec{B C} \cdot \vec{B A} + c \cdot \vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围．

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