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相关试卷

1、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} + \vec{2 b} |$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ， $\vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩$

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2、已知复数 $z = - 1 + 3 i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $| z + 3 - 2 i | = \sqrt{5}$ B、 $z$ 的虚部是 $3 i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、复数 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 8 = 0$ 的一个根

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 3$ ， $a c o s B = (2 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4、如图，透明塑料制成的长方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $B C$ 于地面上，再将容器绕边 $B C$ 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（）

(1)、（2）（3）

A、没有水的部分始终呈棱柱形 B、棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面所在平面平行 C、水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值 D、当容器倾斜如图（3）所示时， $B E \cdot B F$ 是定值

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5、已知函数 $f (x) = | s i n x c o s x + \frac{1}{4} |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $(π, \frac{1}{4})$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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7、若命题 $p : \exists x_{0}, y_{0} > 0$ ，有 ${x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} = x_{0} y_{0}$ 且 $x_{0} \neq y_{0}$ ，则命题 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x, y > 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 且 $x = y$ B、 $\forall x, y > 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 或 $x = y$ C、 $\forall x, y \leq 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 且 $x = y$ D、 $\forall x, y \leq 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 或 $x = y$

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8、设 $α, β, γ$ 是三个不同平面，且 $α ∩ γ = l$ ， $β ∩ γ = m$ ，则“ $l ∥ m$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 3 i^{2024} + 2 i^{3}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 > 0}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2, 4)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $[2, 3)$

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11、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，若以 $F_{1}$ 圆心，1为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心，3为半径的圆相交于A ， B两点，若椭圆E经过A ， B两点，且直线 $A A_{1}$ ， $A A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆E的方程

(2)、点P是直线 $l$ ： $x = 4$ 上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M ， N.
①求证直线 $M N$ 恒过定点，并求出此定点.
②求 $△ P M N$ 面积的最小值.

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x$ 上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项的和 $S_{n}$ .

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} < \frac{3}{4}$ .

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13、已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4$ ， $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式

(2)、求 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线方程.

(3)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求k的取值范围.

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14、在 $△ A B C$ 中， $s i n A = \sqrt{2} s i n B$ ， $b = \sqrt{2}$ .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
条件①： $c = 4$ ；条件②： $b^{2} - a^{2} = c^{2} - \sqrt{2} a c$ ；条件③： $a c o s B = b s i n A$ .
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $∠ B$ 的大小，

(2)、求 $△ A B C$ 的面积

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15、古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{| P O |}{| P A |} = \frac{1}{2}$ ，则点P的轨迹与圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公切线的条数为.

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16、已知直线 $l$ ： $y = 2 x - 1$ .若点 $(n, a_{n})$ 在直线 $l$ 上，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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18、如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则（）

A、轨道I的长轴长为 $R + r$ B、轨道Ⅱ的焦距为 $R - r$ C、若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D、若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小

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19、已知复数 $z = 1 - i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z$ 的虚部为 $- i$ D、 $z$ 的共轭复数为 $1 + i$

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A ， B两点，M为线段 $A B$ 的中点，若 $| A B | = 16$ ，则点M到y轴的距离为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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