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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m^{2} - m) + (m^{2} - 1) i$ ， $m \in R$ .

(1)、当复数z为实数时，求m的值；

(2)、当复数z为纯虚数时，求m的值；

(3)、当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围.

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2、已知 $| \vec{u} | = 3$ ， $| \vec{v} | = 4$ ，且 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .若 $| \vec{a} | = 1$ ，则当 $t \in [0, 1]$ 时， $| \vec{a} - t \vec{u} - (1 - t) \vec{v} |$ 的取值范围为.

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3、 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $A = 45 °$ ， $C = 30 °$ ， $c = 1$ ，则a等于.

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4、已知复数 $z_{1} = 2 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 $P_{1}$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $| z_{2} - i | = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1}$ 点在复平面上的坐标为 $(2, - 2)$ B、 $\bar{z_{1}} = 2 + 2 i$ C、 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最大值为 $\sqrt{13} + 1$ D、 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，对于 $△ A B C$ 有如下命题，其中正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 B、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积等于 $π$ C、若 $(\frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} + \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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6、已知点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 2)$ ，则以A ， B ， C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（）

A、 $(0, - 4)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(2, 1)$

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7、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{b}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8、已知在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若a ， b是方程 $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ 的两个实数根，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则角C的大小是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $60 °$ 或 $120 °$ D、 $45 °$ 或 $135 °$

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9、已知复数 $z = \frac{4 + 2 i}{1 - i}$ ，则z的共轭复数为（）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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10、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原平面图形的周长为（）

A、4a B、8a C、6a D、 $8 \sqrt{2} a$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $2 \vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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12、下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与 $\vec{B C}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{B A}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{O D}$

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14、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）经过点 $A (3, 2)$ ，其右焦点为 $F$ ，且直线 $y = 2 x$ 是 $C$ 的一条渐近线．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $M (m, n)$ 是 $C$ 上任意一点，直线 $l$ ： $\frac{m x}{a^{2}} - \frac{n y}{b^{2}} = 1$ ．证明： $l$ 与双曲线 $C$ 相切于点 $M$ ；

(3)、设直线 $P T$ 与 $C$ 相切于点 $T$ ，且 $\vec{F P} \cdot \vec{F T} = 0$ ，证明：点 $P$ 在定直线上．

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15、时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？

(2)、现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 $X$ 的概率分布和数学期望；

(3)、统计学中常用 $R (B | A) = \frac{P (B | A)}{P (\bar{B} | A)}$ 表示在事件 $A$ 条件下事件 $B$ 发生的优势，称为似然比，当 $R (B | A) \geq 1.35$ 时，我们认为事件 $A$ 条件下 $B$ 发生有优势．现从这200人中任选1人， $A$ 表示“选到的主播带货良好”， $B$ 表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 $R (B | A)$ 的值，并判断事件 $A$ 条件下 $B$ 发生是否有优势．

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16、等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1$ ， $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{3} a_{1} + l o g_{3} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + l o g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、已知 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，若 $f (m) = g (n)$ ，则 $m - n$ 的最小值为．

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18、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 $x$ 轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点 $(2, 0)$ （允许重复过此点）处的概率为．

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19、 ${(x + 2)}^{10} (x^{2} - 1)$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为．（用数字作答）

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20、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A、乙发生的概率为 $\frac{3}{5}$ B、丙发生的概率为 $\frac{3}{5}$ C、甲与丁相互独立 D、丙与丁互为对立事件

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主播的学历层次	直播带货评级		合计
主播的学历层次	优秀	良好
本科及以上	60	40	100
专科及以下	30	70	100
合计	90	110	200

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828