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相关试卷

1、集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x \in N |x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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2、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $A ､ B$ 和点 $C ､ D, M$ 为椭圆上一点，且 $\vec{O M} = \frac{3}{5} \vec{O A} + \frac{4}{5} \vec{O C}$ .

(1)、设 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、求证： $△ A B C$ 的面积为定值；

(3)、当直线 $l_{1}$ 的斜率 $k_{1} = 3$ 时，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $P$ ，与椭圆交于不同的两点 $E, F$ ，求 $|P E| + 2 |P F|$ 的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ .

(1)、若 $a = 1 ， b = - 1$ ，求 $c$ 的取值范围；

(2)、若 $a = \frac{3}{2} ， b > 0 ， x_{1} = 0$ ，且对任意 $x \in [x_{2}, x_{3}] (x_{2} < x_{3})$ 都有 $f (x) > f (- 1)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若 $a = b > 0 ， c = 0$ ，比较 $f (x)$ 的极大值与 $- 1$ 的大小.

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4、如图所示，在直角梯形 $B C E F$ 中， $∠ C B F = ∠ B C E = 90^{\circ}, A, D$ 分别是 $B F, C E$ 上的点，且 $A D / / B C, A B = E D = 2 B C = 2 A F = 2$ ，将四边形 $A D E F$ 沿 $A D$ 向上折起，连接 $B E, B F, C E$ ，在折起的过程中，记二面角 $E - A D - C$ 的平面角为 $α$ .

(1)、请将几何体 $E F A B C D$ 的体积表达为关于 $α$ 的函数，并求其最大值；

(2)、当 $α \in (\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 时，求平面 $E F B$ 和平面 $E B C$ 夹角的余弦值的取值范围.

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5、已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球（各球大小，质地均相同），每次操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子.

(1)、当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、重复 $n$ 次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ .

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{cos C}{2 a + c} = \frac{1}{2 b}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2, c = 5$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线，求 $△ A B D$ 的面积.

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7、定义：对于一个 $n (n \geq 2)$ 位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为 $n$ 位“稳定数”，则三位“稳定数”共有个.

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8、已知点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 10 x - 10 y + 49 = 0$ 上，点 $A (4, 0), B (0, 3)$ ，则当 $\vec{B A} \cdot \vec{B P}$ 最小时，点 $P$ 到原点的距离为.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 10$ ， $a_{n} = a_{n - 1} - 2 (n \geq 2)$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和的最大值等于.

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10、过点 $P$ 作抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的两条切线 $P A, P B$ ，切点为 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), F$ 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{x_{1} x_{2}}{4})$ B、若线段 $A B$ 的中点为 $M, P M$ 与抛物线交于点 $N$ ，则 $|P M| = 2 |P N|$ C、设抛物线上 $A, B$ 之间任意一点 $Q$ 处的切线分别与 $P A, P B$ 交于点 $C, D$ ，记 $△ P A B, △ C A Q, △ D B Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{2}^{\frac{1}{3}} + 2 S_{3}^{\frac{1}{3}} = S_{1}^{\frac{1}{3}}$ D、 $| P F |^{2} = |A F| \cdot |B F|$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $R, f (1) = 2$ ，且满足 $f (5 + \frac{x}{2}) = f (- 5 - x), f (x - 3) = f (5 - 2 x)$ ，作 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到函数 $g (x)$ 的图象，下列说法正确的有（）

A、 $g (x) = f (1 - 2 x)$ B、 $g (x)$ 与 $f (x)$ 有相同的值域 C、 $f (x)$ 的最小正周期是6 D、 $g (1012) = 2$

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12、为弘扬中华优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人的根本任务，某校组织全体高一年级学生进行古典诗词知识测试，从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理得到频率分布直方图如图（各组区间除最后一组为闭区间外，其余各组均为左闭右开区间），则以下说法正确的是（）

A、 $a = 0.024$ B、估计此次测试学生分数的众数为95 C、估计此次测试学生分数的中位数为90 D、估计此次测试学生分数的下四分位数为85

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13、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 6 ， E$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点， $D$ 为 $B C$ 边上靠近B的三等分点，则三棱锥 $A - B D E$ 的外接球体积的最小值为（）

A、 $32 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{4000 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{500 \sqrt{3}}{27}$ D、 $108 \sqrt{3} π$

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14、甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{6}$ ，目标被三人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、下列函数满足在定义域上有两个以上不同的单调区间，且存在 $m \in R$ ，使得函数图象无限趋近于直线 $y = m$ 但不与其相交的是（）

A、 $f (x) = ln |x - 1|$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x e^{- x}}$ D、 $f (x) = x sin x$

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16、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{3}}{10}$

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17、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{b} - \vec{a}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$ C、 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ . D、 $(\frac{12}{5}, \frac{6}{5})$

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18、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = i^{2025}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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19、已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}, B = {x | {log}_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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20、学校食堂为了减少排队时间，从开学第 $1$ 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前 $1$ 天选择了米饭套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若他前 $1$ 天选择了面食套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知他开学第 $1$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求该同学开学第 $2$ 天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学开学第 $n (n \in N^{*})$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $P_{n} ．$ 证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{14}{27}$ .

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