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相关试卷

1、为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（）

A、a的值为0.030 B、抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C、2000名考生中约有10名成绩优秀 D、估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间

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2、 $\sin {112.5}^{°} + sin {67.5}^{°} =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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3、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 1 = 0$ 关于直线 $a x - b y + 3 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）对称，则 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值是（）．

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{20}{3}$ C、 $4$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4、设对于曲线 $f (x) = - e^{x} - x$ 上任一点处的切线 $l_{1}$ ，总存在曲线 $g (x) = 3 a x + 2 cos x$ 上一点处的切线 $l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{2}{3}]$ B、 $[- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}]$ C、 $(- \frac{1}{3}, 2)$ D、 $[- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$

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5、 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ = $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 的一个充分条件是（）

A、 $a \geq 0, b \geq 0$ B、 $a > 0, b > 0$ C、 $a \leq 0, b \leq 0$ D、 $a \leq 0, b < 0$

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6、已知函数f(x)满足f(2^x)＝log₂x，则f(16)＝（　　）

A、﹣1 B、1 C、2 D、4

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7、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) > x - 3$ 的解集.

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8、设命题 $p$ ： $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 4 x + 5 - m > 0$ ，命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ， $4 x^{2} + (4 m - 2) x + 1 \neq 0$ .

(1)、若 $q$ 为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p$ 为假命题、 $q$ 为真命题，求实数m的取值范围.

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9、 $A = \{x |x^{2} + p x + q = 0\}, B = \{x |q x^{2} + p x + 1 = 0\}, A \cap B \neq \emptyset, A \cap (∁_{R} B) = \{- 2\},$ 则 $p + q$ = ．

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10、不等式 $(x - 1) (2 - x) > 0$ 的解集为.

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11、已知整数集合 $M = \{m |x^{2} + m x - 36 = 0$ 有整数解}，非空集合A满足条件（1） $\emptyset \subseteq A \subseteq M$ ，（2）若 $a \in A$ ，则 $- a \in A$ ，则所有这样的集合A的个数为（）

A、15个 B、16个 C、31个 D、32个

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12、已知 $0 < x < 2$ ，则 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ 的最大值为（　　）

A、2 B、4 C、5 D、6

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13、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \leq - 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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14、设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $| a | > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 > 0\}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 2}$

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16、如图，过椭圆的左右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 分别作长轴的垂线 $l_{1}, l_{2}$ 交椭圆于 $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ ，将 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的椭圆弧删除再分别以 $F_{1}, F_{2}$ 为圆心，线段 $F_{1} A_{1}, F_{2} A_{2}$ 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在 $l_{1}, l_{2}$ 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为 ${(x \pm \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ ．
（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点 $F_{1}$ 与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} M} + 2 \vec{F_{1} N} = \vec{0}$ ，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点 $F_{1}$ ，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{M N} = 0$ ，求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围．

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17、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A C = 2, B C = 2 \sqrt{3}, A B = A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18、过椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 上一动点P分别向圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 $| P M |^{2} + 2 | P N |^{2}$ 的最小值为．

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19、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴垂线交双曲线于 $A, B$ 两点， $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M、N、P分别是 $B B_{1}$ 、 $B C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面 $P M N$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $P$ 到平面 $A M N$ 的距离.

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