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相关试卷

1、已知向量 $\vec{m} = (- 2 \cos x, 1)$ ， $\vec{n} = (\sin (x + \frac{π}{3}), - \sin 2 x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .则下列关于 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (- \frac{π}{12}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、函数的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递减

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2、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若 $\vec{D E}$ ⊥ $\vec{A C}$ ，则| $\vec{D E}$ |=　(　　)

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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3、蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口 $A B C D E F$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = \vec{A D} \cdot \vec{D E}$ D、 $\vec{A D} = 2 (\vec{A B} + \vec{A F})$

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4、下列四种变换方式，其中能将 $y = sin x$ 的图象变为 $y = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象的是（）
①向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ；
②向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ；
③横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度；
④横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度；

A、①和③ B、①和④ C、②和③ D、②和④

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5、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ，则（）

A、B，C，D三点共线 B、A，B，C三点共线 C、A，C，D三点共线 D、A，B，D三点共线

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (m \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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7、 $\sin 15 °$ =（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$

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8、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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9、已知向量 $\overset{⃑}{a} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{b} = 4 \overset{⃑}{e_{1}} + \overset{⃑}{e_{2}}$ ，其中 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值．

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10、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若 $b = 3$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{\cos C}{\sin C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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11、已知点M是边长为2的正 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且满足 $3 \vec{a} + 4 \vec{b} + 5 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}⟩ =$ .

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13、重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形 $C O D$ ，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = 4 O A = 4$ ，动点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上（含端点），连结 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 于点Q，且 $\vec{O Q} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 1$ B、若 $y = 2 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{O P} \geq - 2$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$

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14、已知 $z$ 是复数， $\bar{z}$ 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、若 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1 - i|$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ C、若 $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 D、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 9$

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15、若将 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于y轴对称，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

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17、在正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{A B} - \vec{C D} + \vec{C E} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{F C}$ C、 $2 \vec{B F}$ D、 $\vec{B E}$

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18、集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 $A$ 和 $B$ ，定义和集 $A + B = \{a + b| a \in A, b \in B\}$ ，用符号 $d (A + B)$ 表示和集 $A + B$ 内的元素个数.

(1)、已知集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 6\}$ ， $C = \{1, 2, 6, x\}$ ，若 $A + B = A + C$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记集合 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}$ ， $B_{n} = \{\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, n \sqrt{2}\}$ ， $C_{n} = A_{n} + B_{n}$ ， $a_{n}$ 为 $C_{n}$ 中所有元素之和， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} < 2 (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、若 $A$ 与 $B$ 都是由 $m (m \geq 3, m \in N^{*})$ 个整数构成的集合，且 $d (A + B) = 2 m - 1$ ，证明：若按一定顺序排列，集合 $A$ 与 $B$ 中的元素是两个公差相等的等差数列.

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19、已知椭圆 $E$ 中心在原点，左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 作斜率存在的两直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .求四边形 $B C M N$ 面积的最小值.

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20、已知三位整数 $n$ 满足 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则 $n$ 的最大值是．

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