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相关试卷

1、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $P F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，且 $\vec{P F} = 2 \vec{Q F} .$ 当 $∠ A_{1} Q A_{2}$ 最大时，点 $P$ 恰好在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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2、 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ 的极大值为．

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3、已知圆锥的底面半径为 $2$ ，母线与底面所成的角为 $60 °$ ，则该圆锥的表面积为．

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4、在平面直角坐标系中，定义 $d (A, B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 为点 $A (x_{1}, y_{1})$ 到点 $B (x_{2}, y_{2})$ 的“折线距离” $.$ 点 $O$ 是坐标原点，点 $Q$ 在直线 $2 x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上，点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $R$ 在抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 上 $.$ 下列结论中正确的结论为( )

A、 $d (O, Q)$ 的最小值为 $2$ B、 $d (O, P)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $d (P, Q)$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $d (R, Q)$ 的最小值为 $\sqrt{5} - \frac{1}{4}$

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别
是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，点 $M$ 满足 $\vec{H M} = λ \vec{H G}$ 其中 $λ \in [0,1]$ ，则下列结论正确的是( )

A、过 $M$ ， $E$ ， $F$ 三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形 B、三棱锥 $A_{1} - M E F$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $A C / /$ 平面 $M E F$ D、当 $λ = 1$ 时，三棱锥 $A_{1} - M E F$ 外接球的表面积为 $6 π$

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6、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $s i n α = 3 s i n β c o s (α + β)$ ，则 $t a n α$ 取得最大值时， $t a n (α + β)$ 的值为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $2$

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7、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}]$ ，则 $a_{5} =$ ( )

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ B、 $27 \sqrt{5}$ C、 $5$ D、 $8$

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8、在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 $0.6$ ， $0.8$ 和 $0.5$ ，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )

A、 $\frac{1}{26}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{17}{29}$

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9、设 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，若 $l \subset α$ ， $α / / β$ ，则“ $m ⊥ l$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ ，点 $C$ 在圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$ 上运动，那么点 $C$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为( )

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2} + 1$ B、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知复数 $z = \frac{2 - m i}{2 + i}$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为( )

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $4$

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13、一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 $d = 1 k m$ ，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 $\vec{v_{1}}$ ，水流速度 $\vec{v_{2}}$ 的大小为 $| \vec{v_{2}} | = 4 k m / h$ .设 $\vec{v_{1}}$ 和 $\vec{v_{2}}$ 的夹角为 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ ，北岸上的点 $A^{'}$ 在点A的正北方向.

(1)、若游船沿 $A A^{'}$ 到达北岸 $A^{'}$ 点所需时间为 $6 m i n$ ，求 $\vec{v_{1}}$ 的大小和 $c o s θ$ 的值；

(2)、当 $θ = 60 °$ ， $| \vec{v_{1}} | = 10 k m / h$ 时，游船航行到北岸的实际航程是多少？

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14、若圆锥底面半径为 $1 c m$ ，高为 $\sqrt{2} c m$ ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

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15、如图，在梯形ABCD中， $A D / / B C$ ， $B D = 5$ ， $∠ C B D = 60 °$ .

(1)、若 $s i n ∠ B C D = \frac{1}{4}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $A D = 2$ ，求 $c o s ∠ A B D$ .

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16、n为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使（sinθ+icosθ）ⁿ=sinnθ+icosnθ成立，则满足上述条件的n值共有个.

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17、在复平面内，等腰直角三角形 $O Z_{1} Z_{2}$ 以 $O Z_{2}$ 为斜边（其中O为坐标原点），若 $Z_{2}$ 对应的复数 $z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$ ，则直角顶点 $Z_{1}$ 对应的复数 $z_{1} =$ .

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18、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| 3 \vec{a} - 4 \vec{b} | = m$ ，则m的范围是.

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19、已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点， $S O = 1$ ， $O C = \sqrt{3}$ 则下列结论正确的为( )

A、圆锥SO的侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ B、 $∠ S A B$ 的取值范围为 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ C、若 $A B = B C$ ， E为线段AB上的动点，则 $(S E + C E)_{m i n} = \sqrt{10 + 2 \sqrt{15}}$ D、过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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20、对任意复数 $ω_{1}$ ， $ω_{2}$ ，定义 $ω_{1} * ω_{2} = ω_{1} {\bar{ω}}_{2}$ ，其中 ${\bar{ω}}_{2}$ 是 $ω_{2}$ 的共轭复数，对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，下列命题为真命题的是( )

A、 $(z_{1} + z_{2}) * z_{3} = z_{1} * z_{3} + z_{2} * z_{3}$ B、 $z_{1} * (z_{2} + z_{3}) = z_{1} * z_{2} + z_{1} * z_{3}$ C、 $(z_{1} * z_{2}) * z_{3} = z_{1} * (z_{2} * z_{3})$ D、 $z_{1} * z_{2} = z_{2} * z_{1}$

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