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相关试卷

1、已知点 M 是锐角三角形内部的一个点，如果以M 点为端点，可以画15 条射线，恰好把△ABC 分割为15个面积相等的小三角形，则称点M是“好点”。

(1)、如图，若点O 是△ABC的一个“好点”，在经过△ABC三个顶点的射线OA、OB、OC 将三角形分成的△OAB、△OBC、△OAC中，若△OAB和△OBC的面积相等，且△ABC的面积为1，则 $△ O A C$ 的面积可能是多少?

(2)、请探索△ABC 内部共有多少个“好点”?

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2、如图①，点Z将线段AB分成AZ和BZ两部分。若AZ=πBZ或BZ=πAZ，则称点Z 是线段AB 的祖冲之点。

(1)、若线段AB=4，Z是线段AB 的祖冲之点，且AZ>BZ，则AZ=；

(2)、若点 M、N均为线段OD 的祖冲之点，求线段MN的长度；

(3)、在图②中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D 出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒。在点P、D、Q三个点中，当点D和P 分别为其余两点所构成线段的祖冲之点时，直接写出t的值。

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3、数学中，由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：
$[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}]$
其中，这m×n个数称为矩阵A的m×n个元素，数 aij位于矩阵A的第i行第j $a_{i j}$ 列，m×n的矩阵A 也记作. $A_{m n} 。$
例如：2×2的矩阵 $A = [\begin{array}{rr} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ 其中 $a_{11} = 1, a_{12} = - 2, a_{21} = 3, a_{22} = 1 。$
矩阵运算在科学计算中非常重要，矩阵的基本运算包括矩阵的加法，乘法，转置等。
加法：行数和列数分别相等的两个矩阵可以进行加法运算，将两个矩阵各个位置对应元素之和作为和矩阵的元素。如： $[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{lll} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 + 0 & 4 + 0 & 2 + 5 \\ 2 + 7 & 0 + 5 & 1 + 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \\ 9 & 5 & 1 \end{array}] 。$
乘法：当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵可以进行乘法运算，将第一个矩阵的第i行的各个元素与第二个矩阵的第j列的对应元素的乘积之和作为乘积矩阵的第i行第j列的元素。
如： $[\begin{array}{ll} 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}] = [3 \times 2 + 1 \times 4] = [10]$
$[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{rr} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ - 1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & - 1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]$ 。
转置：把矩阵A的行和列互相交换位置所产生的矩阵称为A 的转置矩阵 $A^{T},$ 如：
${[\begin{matrix} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}] 。$
请根据以上材料回答下列问题：

(1)、已知矩阵 $M = [\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \end{array}]$ 求 $M^{T};$

(2)、已知矩阵 $A = [\begin{array}{rr} 2 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}], B = [\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ 分别求A+B，AB；

(3)、若实数x，y满足： ${[\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} x & 2 \\ y & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{matrix}],$ 求x，y的值。

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4、若数p，q满足p+q= pq，则称“p，q”为“等效数对”，如：“2，2”，因为2+2=2×2，所以“2，2”是“等效数对”。

(1)、通过计算判断“3， $\frac{3}{2} ”$ 是不是“等效数对”；

(2)、若“x+1，4”是“等效数对”，求x的值；

(3)、已知“p，q”是“等效数对”，求代数式2023-2022pq+2022p+2022q的值。

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5、已知：如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log_aN。其中，a 叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。例如：2 $2^{3} = 8,$ 那么 $3 = {l o g}_{2} 8; 5^{4} = 625,$ 那么 $4 = {l o g}_{5} 625 。$
对数的性质： ${l o g}_{a} M N = {l o g}_{a} M + {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} \frac{M}{N} = {l o g}_{a} M - {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} M^{n} = n {l o g}_{a} M; {l o g}_{a} b = \frac{{l o g}_{c} b}{{l o g}_{c} a}$
根据以上材料回答下列问题：

(1)、请计算：
${l o g}_{4} 64 =$ ； ${l o g}_{2014} 2014 =$ 。

(2)、如果 ${l o g}_{3} M = 4,$ 那么M=。

(3)、计算： $\frac{{l o g}_{2} 36}{{l o g}_{2} 6} =$ 。

(4)、已知a=log₃2，那么 ${l o g}_{3} 8 - 2 {l o g}_{3} 6$ 的结果用a 表示为（）。

A、a-2 B、5a-2 C、 $3 a - {(1 + a)}^{2}$ D、 $3 a - a^{2} - 1$

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6、【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想。

(1)、如图①，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用两种不同的方法计算梯形的面积，写出你发现的结论：。

(2)、如图②，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n²=。

(3)、n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形。当n=3，m=3时，如图③，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7。
①当n=4，m=2时，y=；当n=5，m=时，y=9。
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得 y=(用含m、n的代数式表示)。

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7、在三角形ABC中，三边存在一定的不等关系，具体表示为“三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。如图①所示，有AC-AB<BC<AC+AB。

(1)、村庄B和村庄C之间有一座水库，为了测得水库的宽度，小强想了一个办法：他先另找一个点A，测得B到A的距离为3千米，测得C到A的距离为2千米，如图②所示，则水库的宽度可能的取值为（）。

A、5千米 B、4千米 C、6千米 D、以上都不可能

(2)、如图③，点D 为三角形ABC 内部一点，试用三角形三边关系证明： $D A + D B + D C > \frac{1}{2} (A B + B C + A C) 。$

(3)、令三角形三边长分别为a，b，c，其中c最大，由三角形三边关系可以得到 $\frac{L}{3} < c < \frac{L}{2}$ (L为三角形周长)。请用这个结论解决下列问题：
现有一根铁丝，总长度为20厘米，小张将铁丝剪成三段，且三段长度均为整数厘米，如果这三段恰好能围成一个三角形，那么一共有多少种不同的剪法?(数字之间调换顺序算同一种剪法)

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8、在图①到图④中，已知△ABC的面积为m。

(1)、如图①，延长 $△ A B C$ 的边BC到点 D，使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S₁ ，则 $S_{1} =$ 。(用含m的式子表示)

(2)、如图②，延长△ABC 的边BC到点D，延长边CA到点E，使(CD=BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S₂ ，则 $S_{2} =$ 。(用含m的式子表示)

(3)、如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S₃ ，则 $S_{3} =$ ▲ (用含m的式子表示)并运用上述⑵的结论写出理由。

(4)、可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF，如图③，此时我们称 $△ A B C$ 向外扩展了一次，可以发现扩展一次后得到△DEF 的面积是原来△ABC 面积的（）倍。
应用上面的结论解答下面问题：
①如图④，去年在面积为15平方米的△ABC空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植面积，把 $△ A B C$ 向外进行两次扩展，第一次△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH，求两次扩展的区域(即阴影部分)的面积为多少平方米?
②如图⑤，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的面积是多少?

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9、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售完；
方案三：将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天完成。
你认为哪种方案获利最多?为什么?

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10、有三种型号的钢板A、B、C分别由3、3、4个1×1的小正方形组成，现有A型钢板7块，需购进B、C两种型号的钢板若干块，不重叠、无缝隙地拼成5×5的正方形钢板2块。已知B型钢板每块500元，C型钢板每块400元，请考虑 B、C两种型号的钢板各购多少块，才能使所花的钱最少?计算出最省钱的方案，并画出设计图。

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11、某运输公司有三个车队，现接到一个运输物资的任务，要求在9天之内全部送到目的地，三个车队的基本情况是：甲车队单独完成运输任务需要10天，每天费用120元；乙车队单独完成任务需要15天，每天费用100元；丙车队单独完成运输任务需要30天，每天费用80元，请你选择一个最佳方案，使得在规定时间内完工，并且花钱最少(工作半天或者半天以上按一天计算)，最少花费是多少?

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12、如图A、B、C、D、E是五个社区，正方形内的数表示各社区小升第9题图初人数，线段上的数字表示两个社区之间的距离(单位：千米)。现在要在这五个社区中选一个社区，在里面建一所初中，为使这些学生到学校的总距离最短，这所初中应建在哪个社区?(计算说明)

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13、一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输，每个货站所需要的装卸工人数如图，为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸，在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是人。(每个站点只能停一辆车)

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14、某旅游团一行40人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，三人间每天178元/间，二人间每天128元/间，单人间每天98元/间。要把这40人安排好住宿，每天最少的住宿费用是( )

A、2392元 B、2394元 C、2412元 D、2492元

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15、 a、b、c、d四个正整数(可能相同)的倒数之和为 $\frac{7}{10},$ 即 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{7}{10},$ 请问这四个数的总和最小可以是多少?

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16、有20个砝码，重量都是整数克(允许有相同重量)。用它们可以称出重为整数克的并且不超过2001克的所有物体的重量(称物体重量时，砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘)，这20个砝码中最重的一个至少是多少克?

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17、某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，那么这辆公共汽车最少要有个座位。

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18、已知a，b，c，d都是正整数，且a>b>c>d，a+b+c+d=2004，2a-2b+2c-2d=2004，则a+d的最小值是。

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19、用1，3，5，7，9这5 个数字组成一个三位数 $\bar{A B C}$ 和一个两位数 $\bar{D E},$ ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数 $\bar{F G H}$ 和一个两位数 $\bar{I J}$ ，算式 $\bar{F G H} \times \bar{I J} -$ $\bar{A B C} \times \bar{D E}$ 计算结果的最大值为。

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20、将1，2，3，4，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是。

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