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相关试卷

1、下面说法正确的是（）

A、若数据 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{16}$ 的方差为8，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{16}$ 的方差为4 B、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C、已知 $X$ 是随机变量，则 $E (X^{2}) \geq E^{2} (X)$ D、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $r$ 的值越接近于1

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2、已知函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}$ ，其中 $a < b$ ， 5为 $f (x)$ 的极小值点.若 $f (x)$ 在 $(a, a + 3)$ 内有最大值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, 5]$ C、 $(- 4, \frac{11}{4})$ D、 $(- 4, \frac{11}{4}]$

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3、一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（）

A、180 B、220 C、260 D、300

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4、已知点 $M (a, 0)$ ， $N (2, 3)$ 到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 6)$ C、 $(0, 6)$ D、 $(2, 6)$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 1$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} = n a_{n}$ ，则 $a_{2025}$ 的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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6、设 $z = \frac{1 + i}{1 - i} - 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 9$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、7

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8、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = |\sin x|$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \sin \frac{x}{2}$

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9、已知集合 $A = \{x \in Z | x^{2} - x - 2 > 0\}$ ，则 $∁_{Z} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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10、对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的 $p$ 阶和数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前 $n$ 项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差．

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11、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ， $g (x) = \sin x - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(π, g (π))$ 处切线的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、用 $max \{m, n\}$ 表示 $m$ 、 $n$ 的最大值，记 $F (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ．问：是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \geq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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12、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若曲线 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过 $M (4, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $D, E$ ，求证：直线 $F D$ 与直线 $F E$ 斜率之和为定值.

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13、在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢
不喜欢
男性
40
10
女性
20
30

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？

(2)、从这100名样本观众中任选1名，设事件 $A =$ “选到的观众是男性”，事件 $B =$ “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较 $P (B |A)$ 和 $P (B |\bar{A})$ 的大小，并解释其意义.
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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14、已知曲线 $y = x^{3} - x + 2$ 的切线与曲线 $y = ln (x + 1) - a$ 也相切，若该切线过原点，则 $a =$ ．

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15、已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (10 ， 0)$ ，若直线 $t x - 4 y + 2 = 0$ 上存在点P，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $t$ 的取值范围为.

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16、已知实数 $a > 1$ ，且满足 ${log}_{a} (2 a) + {log}_{2 a} a = \frac{5}{2}$ ，则 $a =$ ．

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (f (x + y)) = f (x) + f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $f (2025) = 2025$

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18、样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，极差为 $R$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $\bar{x} = 1$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的平均数为 $a + b$ B、若 $s^{2} = 0$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的方差为0 C、若 $x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, 4 x_{4}, 5 x_{5}, 6 x_{6}$ 的极差是 $R^{'}$ ，则 $R^{'} > R$ D、若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}$ ，则这组数据的第75百分位数是 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$

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19、依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次， $A_{1}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”， $A_{2}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， $A_{3}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”， $A_{4}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）

A、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 为对立事件 B、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 为相互独立事件 C、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为相互独立事件 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为互斥事件

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20、已知 $f (x) = e^{x - 1} + 4 x - 4$ ，若正实数 $a$ 满足 $f (\log_{a} \frac{3}{4}) < 1$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > \frac{3}{4}$ B、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > \frac{4}{3}$ C、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > 1$ D、 $a > 1$

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	喜欢	不喜欢
男性	40	10
女性	20	30

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828