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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $△ P A D$ 为等边三角形，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = \frac{2}{3} \vec{C P}$ ．

(1)、求证： $P E //$ 平面 $B D M$ ﹔

(2)、求二面角 $M - A B - D$ 的余弦值．

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 2, g (x) = e^{x} + e^{- x} - 4$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对于任意的 $x_{2}$ 总存在 $x_{1}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]$ 分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.

(1)、填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，判断是否有 $95 %$ 的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计

(2)、规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望.
附：
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.10
0.050
0.010
$k$
2.706
3.841
6.635

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4、集合 $A = \{x |\frac{5}{x - 3} \geq - 1\}$ ， $B = \{x |2 a x^{2} + (2 - a b) x - b < 0\}$ .

(1)、用区间表示集合A；

(2)、若 $a < 0, b < 0$ ， $A \cap B = A$ ，求a，b的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (a - 3) x + 5, x \leq 1 \\ \frac{2 a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 满足对任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是.

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6、若 ${(1 - 2 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $- 80$ ，则展开式中所有项的二项式系数之和为．（以数字作答）

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7、一圆锥的侧面展开图如图所示， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，弧 $B C$ 长为 $2 π$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $N$ 为弧 $B C$ 中点，则（）

A、该圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、在扇形 $A B C$ 中， $\vec{A N} \cdot \vec{M C} = - \frac{9}{4}$ C、该圆锥内半径最大的球的表面积为 $2 π$ D、该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 $\frac{16}{3}$

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8、下列命题中正确的是（）

A、设m为直线， $α$ ， $β$ 为平面，且 $m ⊥ α$ ，则“ $m ∥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的充要条件 B、设随机变量 $ξ ～ N (0, 1)$ ，若 $P (ξ \geq 3) = p$ ，则 $P (- 3 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ C、若不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 2 m + 2 (x > 0)$ 恒成立，则m的取值范围是 $(- \infty, 2)$ D、已知直线 $a x + b y = 2$ 经过点 $(1, 3)$ ，则 $2^{a} + 8^{b}$ 的取值范围是 $[4, + \infty)$

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9、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $x \in (a, a + 4)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $[- 3, 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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11、若 $a, b \in \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + b$ 有零点的概率为

A、 $\frac{13}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{8}$

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12、函数 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{4} - 1}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、下列关系中，表述正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset$ A C、 $π \in Q$ D、 $\{\sqrt{3}\} \subseteq R$

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14、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ B、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ C、 $f (x) = 2 |x| + 1$ D、 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ， $C D = 1$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点，且二面角 $E - P A - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $\frac{C E}{C B}$ 的值．

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16、函数 $f (x) = x + \frac{|x|}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，在八面体 $P A B C D Q$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，平面 $P A D //$ 平面 $Q B C$ ，二面角 $P - A B - C$ 与二面角 $Q - C D - A$ 的大小都是 $30 °$ ， $A P = C Q = \sqrt{3}$ ， $P D ⊥ A B$ ．

(1)、证明：平面 $P C D //$ 平面 $Q A B$ ；

(2)、设 $G$ 为 $△ Q B C$ 的重心，是否在棱 $P A$ 上存在点 $S$ ，使得 $S G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ ，若存在，求 $S$ 到平面 $A B C D$ 的距离，若不存在，说明理由．

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18、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \frac{1}{3} f (x + 3) + n$ ，且 $f (1) = 2$ ，当 $x \in [3, 6]$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - 15 x + 30$ ．函数 $g (x) = {log}_{2} (2 + \frac{7}{4^{x} - 1})$ ．

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 3)$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、设 $h (x) = 2 \sin x + λ \cos 2 x$ ，是否存在实数 $λ$ ，使不等式 $f [h (x)] > g [h (x)]$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时恒成立？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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19、某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ （时）的关系为 $f (x) = |\frac{- a x^{2} + x - a}{x^{2} + 1}| + 2 a + \frac{4}{5}$ ， $x \in [0, 24)$ ，其中 $a$ 是与气象有关的参数，且 $a \in [0, \frac{1}{2}]$ ，若用每天的环境综合污染指数 $f (x)$ 的最大值作为当天的综合污染指数，并记作 $G (a)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求环境综合污染指数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $G (a)$ 的解析式；

(3)、规定当 $G (a) > 2$ 时为综合污染指数超标，求当 $a$ 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标．

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $c \cos B + \sqrt{3} c \sin B = a + b$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a + b = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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	成绩小于60	成绩不小于60	合计
男
女
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635