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相关试卷

1、如图，在正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A B = 4 A_{1} B_{1} = 4$ ， $B B_{1} = 3$ ， $\vec{D B} = 4 \vec{D F}$ ，棱 $B_{1} B$ 上的点 $E$ 满足 $A E + E C$ 取得最小值.

(1)、证明： $B_{1} F //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、在空间取一点为 $G$ ，使得 $A G // C_{1} C$ ，设平面 $A G E$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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2、已知首项为1的等差数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的公差为2，又数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \frac{9}{2} T_{4}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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3、已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为 $6 : 3 : 1$ .

(1)、现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；

(2)、从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.

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4、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - \frac{c}{\sqrt{3}})}^{2} = \frac{4 c^{2}}{3}$ 有四个不同的公共点，其中 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .若 $\frac{b}{a} + \frac{a^{2}}{b^{2}} > m$ ，则 $m$ 的最大值为.

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5、已知二项式 ${(a x - \frac{b}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为 $- 20$ ，则 $a b =$ .

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6、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (t, 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) // (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t =$ .

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7、某箱中有若干个编号依次为 $1, 2, \dots \dots, k (k \geq 3)$ 的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第 $m$ 次取出球的编号为 $n$ ，则记为 $X_{m, n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $P (X_{2, 1}) = 0,$ 则 $P (X_{1, 2}) = 1$ B、若 $P (X_{2, 1}) = \frac{1}{3},$ 则 $P (X_{2, 2}) = \frac{2}{9}$ C、若 $P (X_{3, 1}) = \frac{1}{3},$ 则事件 $X_{1, 1}$ 和事件 $X_{2, 2}$ 相互独立 D、若 $P (X_{3, 1}) = \frac{1}{3},$ 则事件 $X_{1, 2}$ 和事件 $X_{2, 3}$ 相互独立

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8、已知正数 $a, b$ 满足 $e^{a} (1 - ln b) = 1$ ，则（）

A、 $e < b < e^{2}$ B、 $e^{a} + \frac{1}{e^{a}} > 2$ C、 $e^{a} > b$ D、 $e^{a} - ln b > 1$

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9、若 $f (x) = x^{2} + 81 {(ln \frac{x}{3})}^{2} - 18 ln \frac{x}{3} + 1,$ 则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $1 + e^{2}$ B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、2

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10、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $cos (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $cos α cos β = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{tan α} - \frac{1}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{1}{10}$ B、 $- \frac{3}{10}$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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11、已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $125 π$ B、 $\frac{400 π}{3}$ C、 $\frac{200 π}{3}$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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12、已知 $2 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、20

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13、已知曲线 $y = {log}_{2024} (x - 3)$ 过抛物线 $C : y^{2} = m x$ 的焦点，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $y = - 4$ C、 $x = - 4$ D、 $y = - \frac{1}{4}$

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14、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $sin x + 1 > 0$ ；命题 $q : \exists x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 是质数，则（）

A、 $p, q$ 均是真命题 B、 $\neg p, q$ 均是真命题 C、 $p, \neg q$ 均是真命题 D、 $\neg p, \neg q$ 均是真命题

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15、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4 - x) - \log_{\frac{1}{2}} (4 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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16、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的方程为 $x + 2 y = 0$ ，则C的离心率的值为.

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17、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，已知点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}, ∠ P A F_{2} = 45^{\circ}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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18、若 $f (\sin x) = 2 - \cos 2 x$ ，则 $f (\cos x) =$ （）

A、 $2 - \sin 2 x$ B、 $2 + \sin 2 x$ C、 $2 - \cos 2 x$ D、 $2 + \cos 2 x$

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19、奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的图象分别如图1、图2所示，方程 $f [g (x)] = 0$ 和 $g [f (x)] = 0$ 的实根个数分别 $a$ ， $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、3 B、7 C、10 D、14

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} - a x - \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = m x + 2$ ，求实数 $a, m$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \geq 1$ ， $f (x) + a x \geq a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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