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相关试卷

1、函数 $f (x) = x^{3} - 6 a x^{2} + 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $- \frac{1}{6} < a < 0$ 时，记 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上的最大值为M，最小值为m，求 $M - m$ 的取值范围.

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2、一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量 $X$ ，求：

(1)、质点位于2的位置的概率；

(2)、随机变量 $X$ 的分布列和期望.

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3、以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为时，容器的容积最大.

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4、袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则 $E (X) =$ .

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5、从0，1，2，3，4，5，6中任取3个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是.（用数字作答）

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6、设A，B是两个随机事件， $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若A，B相互独立， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \cup B) = 0.65$ B、若A，B互斥， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.2$ C、若 $P (\bar{A} | B) = P (B | \bar{A})$ ，则 $P (A) + P (B) = 1$ D、若 $P (\bar{A} |B) = P (\bar{A} |\bar{B})$ ，则 $P (A B) = P (A) P (B)$

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7、下列函数中，有两个零点的是（）

A、 $f (x) = e^{x} - x - 1$ B、 $f (x) = e^{x} - x - 2$ C、 $f (x) = \ln x - 2 x + 2$ D、 $f (x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2$

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8、 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有7项 B、展开式的二项式系数的和为128 C、展开式中 $x^{2}$ 的系数为14 D、展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大

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9、函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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10、人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程 $x^{2} - 2 = 0$ ，如果用二分法求近似解，给定初始区间 $[1, 2]$ ，若精确度 $ε = 0.1$ ，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值 $x_{0}$ ，在横坐标为 $x_{0}$ 的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 $x_{1}$ ，用 $x_{1}$ 代替 $x_{0}$ 重复上面的过程得到 $x_{2}$ ，一直继续下去得到 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， …， $x_{n}$ .它们越来越逼近函数的零点r，当 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 时， $x_{n}$ 或 $x_{n - 1}$ 即为方程的近似解.现给定初始值 $x_{0} = 2$ ，利用牛顿法求 $x^{2} - 2 = 0$ 的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布 $N (78, 7^{2})$ .如果按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩由高到低分为 $A, B, C, D$ 四个等级，那么 $B$ 等级的最高分数线约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ .

A、71 B、78 C、85 D、92

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12、随机变量X的分布列为 $P (X = 0) = 0.2$ ， $P (X = 1) = a$ ， $P (X = 2) = b$ .若 $E (X) = 1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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13、济南市某高中组织全部学生参加公益活动，其中高一、高二、高三年级人数之比为4：3：3，这三个年级分别又有20%，30%，40%的学生参加公益活动中的环保活动.从三个年级中任选一名学生，该学生参加环保活动的概率是（）

A、27% B、28% C、29% D、30%

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14、下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、函数 $f (x) = x \sin x$ 在点 $(- \frac{π}{2}, f (- \frac{π}{2}))$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\frac{π}{2}$

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16、大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（）

A、7 B、8 C、12 D、16

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17、已知 $A (- 3, 0), B (3, 0),$ 直线 $A M, B M$ 相交于点M，且它们的斜率之积是 $- \frac{8}{9} ，$ 点M的轨迹记为 $C .$

(1)、求轨迹C的方程；

(2)、设 $P, Q$ 是线段AB的从左至右的两个三等分点.
（ $i$ ）试比较 $\frac{1}{|M P|} + \frac{1}{|M Q|}$ 与 $\frac{1}{|P Q|}$ 的大小，并说明理由；
（ $ii$ ）若直线 $M P, M Q$ 分别与曲线C相交于另一点E和F，直线 $P F$ 与C交于另一点G，求证：直线 $E G$ 经过一定点.

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求m的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点 $P (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 且平行于 $A M$ 的直线交直线 $x = \frac{5}{2}$ 于点 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 恒过定点.

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20、如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，现将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $D - A B C E$ ，点 $P$ 为棱 $D B$ 上一点.

(1)、证明： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $E P$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ？若存在，求 $D P : D B$ 的值；若不存在，请说明理由.

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