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相关试卷

1、一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为．

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2、下列说法正确的是（）

A、某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是 $\frac{1}{6}$ ，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B、为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D、若甲组数据的方差 $S^{2} = 0.01$ ，乙组数据的方差 $S^{2} = 0.1$ ，则乙比甲稳定

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3、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的奇函数，且 $f (2) = 3$ 若对任意的m， $n \in [- 2, 2]$ ， $m + n \neq 0$ ，都有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ .
（1）若 $f (2 a - 1) + f (- a) < 0$ ，求实数a的取值范围；
（2）若不等式 $f (x) \leq (5 - 2 a) t + 1$ 对任意 $x \in [- 2, 2]$ 和 $a \in [- 1, 2]$ 都恒成立，求实数t的取值范围.

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4、已知关于x的函数y＝(m＋6)x²＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)、求m的范围；

(2)、若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．

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5、已知 $tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $3 x^{2} + 5 x - 7 = 0$ 的两根，求下列各式的值.

(1)、 $tan (α + β)$

(2)、 $\frac{sin (α + β)}{cos (α - β)}$

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6、设 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3, x > 10, \\ f (f (x + 5)), x \leq 10, \end{array}$ 则 $f (5)$ 的值是．

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7、已知 $α$ 为钝角，且 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos α =$ .

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8、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心 B、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是 $f (x)$ 的对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调减 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位得 $y = \cos 2 x$ 的图象

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9、下列不等式中正确的是（）

A、 ${1.2}^{0.3} < {1.3}^{0.3}$ B、 ${0.2}^{0.3} > {0.2}^{0.2}$ C、 $\log_{0.3} 1.2 > \log_{0.3} 1.3$ D、 $\log_{1.2} 0.3 > \log_{0.2} 0.3$

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10、给定数集 $M$ ，若对于任意 $a, b \in M$ ，有 $a + b \in M$ ，且 $a - b \in M$ ，则称集合 $M$ 为闭集合，则下列说法中不正确的是（）

A、集合 $M = \{﹣ 4, ﹣ 2, 0, 2, 4\}$ 为闭集合 B、正整数集是闭集合 C、集合 $M = \{n |n = 3 k, k \in Z\}$ 为闭集合 D、若集合 $A_{1}, A_{2}$ 为闭集合，则 $A_{1} \cup A_{2}$ 为闭集合

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11、已知函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ，下列四个结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8}]$ 上是增函数 B、点 $(\frac{3 π}{8}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图像的一个对称中心 C、函数 $f (x)$ 的图像可以由函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 得到 D、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $[0, \sqrt{2}]$

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12、在 $△ A B C$ 中，已知 $b \cos A = a \cos B$ ，判断 $△ A B C$ 的形状（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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13、“ $a > 3$ ”是“函数 $f (x) = {(a - 1)}^{x}$ 在 $R$ 上为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、函数 $y = {log}_{a} (x + 1) (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )与函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 在同一直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15、函数 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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17、若向量 $\vec{A B} = (0, 1), \vec{C D} = (m, - 2), \vec{A B}$ $∥$ $\vec{C D}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、0

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18、某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即： ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ ”，证明如下.证明：考虑多项式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n}$ 中 $x^{n}$ 的系数，一方面：代数式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n} = {(1 + x)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} x + \dots + C_{2 n}^{n} x^{n} + \dots + C_{2 n}^{2 n} x^{2 n}$ 中， $x^{n}$ 的系数为 $C_{2 n}^{n}$ .另一方面：代数式 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{n} = (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{n} x^{n}) \cdot (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n} x^{n})$ 中， $x^{n}$ 的系数为 $C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{n} + C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} \cdot C_{n}^{0}$ .因为 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ，所以 $C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{n} + C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} \cdot C_{n}^{0}$ $= {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2}$ .所以 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ .

(1)、如果证明过程中考虑 ${(1 + x)}^{n} \cdot {(1 + x)}^{m}$ 中 $x^{k}$ 的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释；

(2)、证明：① $C_{n}^{m} \cdot C_{m}^{k} = C_{n}^{k} \cdot C_{n - k}^{m - k}$ ；② $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} \cdot C_{n + i}^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} {(C_{n}^{i})}^{2}$ .注：组合数 $C_{n}^{m}$ ，若 $m > n$ ，则 $C_{n}^{m} = 0$ .

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19、将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α (0 < α \leq \frac{π}{2})$ 后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \tan (\frac{π}{2} - α) x + b (b \in R)$ 至多有1个交点，则称函数 $f (x)$ 具有“α旋转不变性”.

(1)、证明：函数 $f (x) = \sin x$ ， $x \in [0, π]$ 具有“ $\frac{π}{4}$ 旋转不变性”；

(2)、若函数 $g (x) = m (x - 1) e^{x} - x \ln x - \frac{x^{2}}{2}$ 具有“ $\frac{π}{6}$ 旋转不变性”，求m的取值范围.

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20、长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%.

(1)、请完成下列2×2列联表，并根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联；
近视
每天近距离看电子产品时间超过1h
合计
是
否
是

否

合计

1000

(2)、研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图.
①根据散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c + d \ln x$ 哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由）
②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（ $6 \leq x \leq 16$ ，且 $x \in N^{*}$ ）的经验回归方程；
③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数）
参考公式及数据：（ⅰ） $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
α
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828
（ⅱ）回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
（ⅲ）散点图1中 $\bar{y} = 23.9$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 34.1$ ；散点图2中 $\bar{y} = 23.09$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 10.725$ .

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近视	每天近距离看电子产品时间超过1h		合计
近视	是	否	合计
是
否
合计			1000

α	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828