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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, 4, x)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ，若 $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x + y$ 的值是（）

A、 $- 3$ 或1 B、3或1 C、 $- 3$ D、1

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $c_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ ，若 $\{b_{n}\}$ 是一个非零常数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是一阶等差数列；若 $\{c_{n}\}$ 是一个非零常数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是二阶等差数列.

(1)、若 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 3$ ， $c_{n} = 2$ ，试写出二阶等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前4项，并求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = 5$ ，且满足 $b_{n + 1} - c_{n} = 2 a_{n} - 4$ ，
（i）判断 $\{a_{n}\}$ 是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
（ii）记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若不等式 $λ \cdot 3^{n} + 2 S_{n} - 4 a_{n} < 0$ 时于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ⊥ C D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = A D = C D = 2, B C = 3$ ， E为PD的中点，点F在PC上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面PAD；

(2)、求PC与平面AEF所成角的正弦值；

(3)、若棱PB上一点G满足 $\vec{P G} = λ \vec{P B}$ ，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求 $λ .$

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4、在圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点P在圆O上运动，Q是线段PD的中点 $. ($ 当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点Q与点P重合 $)$

(1)、求点Q的轨迹方程；

(2)、设直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 与点Q的轨迹相交于不同的两点M、N，若 $A (0, - 1)$ ，问是否存在实数m使 $|A M| = |A N|$ ？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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5、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} = C D = A D = 2 A B = 2$ ， $A B / / C D$ ，点E为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $B C D_{1}$ ；

(2)、若 $A D ⊥ C D$ ，求直线AE到平面 $B C D_{1}$ 的距离.

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6、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (0, 4)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (8, 0)$ ，求：

(1)、线段AB的垂直平分线的方程；

(2)、 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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7、如图，在第一象限，圆 $C_{n} (n \in N^{*})$ 均与直线 $y = 0$ 和 $y = \sqrt{3} x$ 相切，且圆 $C_{n}$ 与圆 $C_{n + 1}$ 外切，设第n个圆的半径为 $r_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}} =$ ，若 $r_{2} = 3$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} S_{i} =$ $. ($ 用含n的式子表示 $)$

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，F是抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，若 $△ F_{1} F F_{2}$ 是等边三角形，则该抛物线的方程为.

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9、已知向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n =$ .

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10、如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分 $∠ F_{1} P F_{2} .$ 过点 $F_{2}$ 作l的垂线，垂足为N，延长 $F_{1} P$ 、 $F_{2} N$ 交于点Q，若 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{7}{8}$ ， $|M F_{1} |= 2| M F_{2}|$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|} = 2$ B、 $\frac{S_{△ Q F_{1} F_{2}}}{S_{△ P F_{1} F_{2}}} = \frac{3}{2}$ C、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{4}$ D、 $|O N| = a$

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11、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为常数列 B、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为单调递增数列 C、 $3 S_{n} > a_{n}^{2}$ D、 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和恒小于1

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12、已知双曲线C的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，且C过点 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则（）

A、C的焦点在y轴上 B、C的方程为 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、C的焦点到其渐近线的距离为 $2 \sqrt{2}$ D、直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与C有两个公共点

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13、已知直线l经过抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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14、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线 $A B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $A A_{1}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、1或 $2 \sqrt{3}$ C、12 D、1或12

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15、已知 $b_{n} = l n a_{n} (n \in N^{*})$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列”是“ $\{b_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知圆C： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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17、如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点， $\vec{A E} = 4 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $\vec{D F} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A D}$ B、 $\vec{D F} = \frac{1}{8} \vec{A B} + \frac{1}{8} \vec{A C} - \vec{A D}$ C、 $\vec{D F} = - \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C} + \vec{A D}$ D、 $\vec{D F} = - \frac{1}{8} \vec{A B} - \frac{1}{8} \vec{A C} + \vec{A D}$

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18、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ， $a_{4} = 2$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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19、已知直线 $l_{1}$ ： $3 x - 2 y + 6 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $4 x + a y + 3 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、6

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20、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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