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相关试卷

1、在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为 $+ 1$ 个单位，向“负方向姿态修正一次”记为 $- 1$ 个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.

(1)、求6次姿态修正后达到 $+ 2$ 个单位的概率；

(2)、以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到 $+ 2$ 个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到 $- 2$ 个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 $E (X)$ ．

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2、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{b}{x}$ ， $b \in (0, 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求b的值；

(2)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围．

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3、如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C ⊥ B D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $B C = \sqrt{2}$ ， $B D = A D = 1$ ， E，F分别为 $A B$ 和 $C D$ 的中点．

(1)、证明： $B D$ 上存在点P，使得 $A D //$ 平面 $P E F$ ；

(2)、当 $〈\vec{D A}, \vec{B C}〉 = \frac{π}{4}$ 时，求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值．

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4、已知圆 $O_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ ，则圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的公切线最多有条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是．

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5、若i为虚数单位，则 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots + 10 i^{10} =$ ．

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6、 $card (A)$ 表示有限集合A中元素的个数，已知 $card (A \cup B) = 25$ ， $card (A) = 22$ ， $card (B) = 20$ ，则 $card (A \cap B) =$ ．

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7、若曲线 $Γ$ 满足条件：存在正数a和点 $P \notin Γ$ ，对于任意点 $A \in Γ$ ，总存在点 $B \in Γ$ ，使得 $|P A| \cdot |P B| = a$ ，则称该曲线是“ $a -$ 封闭曲线”，则下列曲线是“ $a -$ 封闭曲线”的是（）

A、 $2 x^{2} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + x y = 1$ C、 $x^{2} + y^{2} = {sin}^{2} x + {cos}^{2} y$ D、 $sin (x + 2 y) = 2 x - y$

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x (a > 0)$ 的极大值点和极小值点分别记为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，过点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ 分别作x轴的平行线交 $f (x)$ 的图象于点C，A，过点M，N构造矩形 $A B C D$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} - x_{1} = 2 a$ B、点M为线段CD的三等分点 C、当 $a = 1$ 时，四边形ABCD为正方形 D、当 $a = 1$ 时，四边形 $A M C N$ 为菱形

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9、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{9}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，中位数为M，现对这组数据做如下变换： $y_{i} = x_{i} + i (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，得到一组新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、新数据的极差等于原数据的极差 B、新数据的平均数等于 $\bar{x} + 5$ C、新数据的方差大于原数据的方差 D、新数据的中位数等于 $M + 5$

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10、已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则（）

A、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = 1$ B、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = 1$ C、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = \frac{1}{4}$

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11、已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为 $16 π$ ，若圆台内接于球 $O$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{21}$

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12、甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（）

A、24 B、54 C、72 D、120

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13、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内恰有一个极值点，则 $ω$ 可能的取值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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15、若 ${(1 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $16$ C、 $32$ D、 $64$

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16、双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 的实轴长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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17、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$

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18、某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为 $\frac{1}{3}$ ，发生故障时需1名维修工人进行维修.

(1)、若发生故障的机床数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘 $k (k = 0, 1, 2, 3)$ 名维修工人，设该车间每月获利为 $Y_{k} (k = 0, 1, 2, 3)$ .
（i）当 $k = 1$ ，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值 $E (Y_{1})$ ；
（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数 $k$ 的值，并说明理由.

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19、已知在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前 $3$ 项的系数分别为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ，且满足 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ .

(1)、展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由；

(2)、求展开式中系数最大的项.

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20、某市高二年级期末统考的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $X \sim N (100, 144)$ .

(1)、估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；

(2)、若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在 $(88, 124]$ 内的学生人数.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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