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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2}) - cos (\frac{3 π}{2} + x),$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到 B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0), f (α) = 5 cos 2 α$ ，则 $cos 2 α = \frac{7}{25}$

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2、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 m x - 2 y = 0$ 被直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平分，则圆C的半径为．

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3、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，且 $A A_{1} = A B = 2$ ， M为AD的中点，动点P满足 $\vec{B P} = x \vec{B B_{1}} + y \vec{B D}$ ，且 $x, y \in [0, 1]$ .

(1)、若 $x + y = \frac{1}{2}$ 时，求证： $A P ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、若 $x = y$ ， E为 $A_{1} M$ 上一动点，且 $E P //$ 平面ABCD，求EP的最小值；

(3)、若 $y = 2 x (x \neq 0)$ ，点O为三棱锥 $P - M B D$ 外接球的球心，求OP的取值范围.

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4、过点 $P (1, m) (m \in R)$ 有n条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图像相切.

(1)、若 $m = e$ ，求n的值并求切线的方程；

(2)、当n取最大值时，求m的取值范围.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的各项均不为零，若 $\{b_{n}\}$ 是单调递增数列，且 $2 a_{n} = b_{n} \cdot b_{n + 1}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = b_{n + 1}^{2}$ ， $a_{1} = b_{2}$ ， $a_{2} = b_{6}$ .

(1)、求 $b_{1}$ 及数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = | 9 - b_{n} |$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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6、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点 $P (1, 4)$ ，且直线l经过点P.

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C右支上一点，线段 $P F_{1}$ 与C的左支交于点M.若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，且 $\tan ∠ F_{1} M F_{2} = - \frac{3}{4}$ ，则C的离心率为.

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8、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ， $9 S_{4} = 10 S_{2}$ ， $a_{2} + a_{4} =$ .

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9、函数 $f (x) = 2 \cos (- 2 x + \frac{π}{6})$ ，其导函数为函数 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ ．

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10、设函数 $f (x) = (x + a) \ln (x + b)$ ，则下面说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ ， $b = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在定义域上仅有一个零点 B、当 $a = 0$ ， $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、若函数 $f (x)$ 存在极值点，则 $b < a < b + \frac{1}{e^{2}}$ 或 $a \leq b$ D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

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11、各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{1} > 1$ ，公比 $q \neq 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $T_{6} = T_{10}$ ，则必有 $T_{16} = 1$ B、若 $T_{7} > T_{8}$ ，则必有 $T_{6} > T_{7}$ C、若 $T_{6} = T_{10}$ ，则必有 $T_{n} \leq T_{8}$ D、若 $T_{7} > T_{8}$ ，则必有 $T_{8} > T_{9}$

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $P A = P D = A B$ ， E为线段PB的中点，若面 $A E C ⊥$ 面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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13、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，设 $g (x) = e^{- x} \cdot f (x)$ ，若函数 $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x)$ 的图像如图所示，则（）

A、 $a < b$ ， $b < c$ B、 $a > b$ ， $b > c$ C、 $\frac{b}{a} > 1$ ， $b = c$ D、 $\frac{b}{a} < 1$ ， $b = c$

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14、我们把由0和1组成的数列称为 $0 - 1$ 数列， $0 - 1$ 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列 $\{F_{n}\}$ （ $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n} + F_{n + 1}$ ）中的奇数换成0，偶数换成1可得到 $0 - 1$ 数列 $\{a_{n}\}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{k} = 10$ ，则k的值可能是（）

A、35 B、32 C、29 D、26

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15、若方程 $\frac{x^{2}}{2 + m} + \frac{y^{2}}{5 - 2 m} = 1$ 表示椭圆，则m的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < \frac{5}{2}$ B、 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ 或 $1 < m < \frac{5}{2}$ D、 $- 2 < m < 1$

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16、已知 $⊙ C : x^{2} + y^{2} + 2 x - \sqrt{2} y + \frac{1}{2} = 0$ ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， 1 B、 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， 1 C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、空间一点P在xOy平面上的射影为 $M (2, 4, 0)$ ，在xOz平面上的射影为 $N (2, 0, 7)$ ，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（）

A、 $(2, 4, 7)$ B、 $(0, 0, 7)$ C、 $(0, 4, 7)$ D、 $(0, 2, 7)$

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18、若一条直线经过两点 $(1, 0)$ 和 $(- 2, \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“平方递推数列”．已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 8$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在函数 $f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ 的图象上，其中n为正整数．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 2\}$ 是“平方递推数列”，且数列 $\{\lg (a_{n} + 2)\}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = lg (a_{n} + 2), c_{n} = 2 n - 1, d_{n} = \{\begin{matrix} c_{n}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{matrix}$ ，数列 $\{d_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2 n} - 2 n^{2} + n + 10 \geq λ b_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点．若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ ，且 $|P F_{1}|$ 的最小值为 $1$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $M (4, 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，记直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围．

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