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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x + ln (1 - \frac{2 b}{x})$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ，且 $b \neq 0$ 时， $f (x)$ 没有零点 B、曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形 C、当 $a b > 0$ 时， $f (x)$ 在定义域内是单调函数 D、当 $a b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值

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2、已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$ C、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{3}{8}$ D、若 $P (B ∣ A) = \frac{1}{8}$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = \frac{7}{8}$

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3、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 的焦距小于 $C_{2}$ 的焦距 B、 $C_{2}$ 可能为等轴双曲线 C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 恰有四个公共点

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4、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 为函数 $f (x) = sin (ω x + φ) - sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的3个相邻零点，若 $2 (x_{2} - x_{1}) = x_{3} - x_{2}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，若 $\cos ∠ O F M = \frac{3}{5}$ ，则 $M$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{p}{4}$ B、 $\frac{p}{6}$ C、 $\frac{p}{8}$ D、 $\frac{p}{16}$

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6、若 $sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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7、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 1$ ，则 $S_{9}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8、已知根据如下数据，可得到 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.25 x + 14.84$ ，则3号观测的残差（精确到0.1）为（）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$x$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
$y$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7

A、0.5 B、 $- 0.5$ C、0.6 D、 $- 0.6$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f [f (x + 4)], x < 2, \\ 2 x - 5, x \geq 2, \end{array}$ 则 $f (0) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、若 $i \cdot z = 2 - i$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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11、已知集合 $A = \{x \in N ∣ - 1 < x < 4\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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12、“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点 $D$ 被称为“牟合方盖”的上顶点，点 $O$ 为“牟合方盖”的中心．过点 $O$ 作平面 $γ$ 使得 $O D ⊥ γ, | O D | = 2$ ．

(1)、求平面 $γ$ 截“牟合方盖”所得截面的面积；

(2)、B，E为平面 $γ$ 与两圆柱交线的交点， $A$ 为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧， $∠ D O C = \frac{π}{2}$ ，过S作 $S R / /$ 平面ABC，交边界BD于点 $R$ ，设 $∠ S O D = α (0 \leq α \leq \frac{π}{2}), ∠ A O C = β$ ．
（i）当 $β = \frac{π}{2}$ 时（如图2），是否存在 $α$ 使得 $C R = \sqrt{5}$ ？若存在，求出 $α$ ；若不存在，请说明理由；
（ii）若 $O S / / A R$ ，点S到平面ABR的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ ，求 $\tan α$ 与 $\tan β$ ．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{5}, A C = 2 \sqrt{2}, C D = 2 B D = 2$ ．将 $△ A C D$ 沿AD翻折至 $△ A E D$ ．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B D E$ .；

(2)、若二面角 $E - A D - B$ 的平面角为 $60^{°}$ ，求直线AB与平面AED所成角的正弦值．

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14、已知集合 $U = {1, 2}, A, B, C$ 是 $U$ 的子集，且 $A \cup B \cup C = U$ ，则 $A \cap B \cap C = \emptyset$ 的概率为．

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15、如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（）

A、线段AB与GH所在的直线是异面直线 B、三棱锥 $E - Q M F$ 的体积为定值 C、存在点 $P$ ，使得 $∠ E P D < \frac{π}{2}$ D、记点 $Q$ 到平面ABC的距离为 $d$ ，则 $d + A Q$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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16、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R), | z | = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 4$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ C、若 $b = 2$ ，则 $z$ 为纯虚数 D、 $1 \leq | z - 3 i | \leq 5$

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17、已知在 $△ A B C$ 中，点 $A$ 在BC上的射影 $H$ 落在线段BC上（不含端点），且满足 $A H^{2} = \frac{1}{2} A B \cdot A C$ ，则角 $A$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ B、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

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18、已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（）

A、 $\frac{28 \sqrt{14}}{3}$ B、 $\frac{112}{3}$ C、 $28 \sqrt{14}$ D、112

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19、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， M，N分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{2}$ ， $θ = \frac{π}{6}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为r的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ， $△ A B C$ 的面积为S．

(1)、求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ；

(2)、已知 $p = 15$ ， $S = 15 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆半径r；

(3)、已知 $p = 8$ ，且 $c^{2} = 6 (a \cos B + b \cos A)$ ，求S的最大值．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
$y$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7