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1、在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ ，若_____________，求：

(1)、求n和展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 $(2 + x^{2}) {(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数．

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2、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 4}{x + 1} < 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 < 0\}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a}{x}, x > 2 \\ x^{2} - a x + 11, x \leq 2 \end{matrix}$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上是单调减函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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4、某市高三年级男生的身高 $X$ （单位： $cm$ ）近似服从正态分布 $N (175, σ^{2})$ ，已知 $P (175 \leq X < 180) = 0.2$ ，若 $P (X \leq a) \in [0.3, 0.5]$ .写出一个符合条件的 $a$ 的值为.

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5、已知两个变量x和y的统计数据如下表：
x
13
16
17
18
y
15
16
19
22
根据上表可解得回归直线方程： $\hat{y} = 1.25 x + a$ ，则实数a的值为．

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6、函数 $f (x)$ 对于任意的 $x, y \in R$ ，满足 $f (x - y) - f (x + y) = f (x - 1) f (y - 1)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则（）

A、 $y = x f (x)$ 为偶函数 B、 $4$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、点 $(2025, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的对称中心 D、 $\sum_{i = 0}^{2026} f (i) = 0$

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7、下列说法正确的是（）

A、若事件A与B互相独立，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A |B) = P (A)$ B、甲、乙两个模型的决定系数 $R^{2}$ 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{4})$ ，则 $E (2 ξ + 3) = 5$ D、某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则游戏者闯关成功的概率为 $\frac{31}{32}$

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8、下列叙述正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 < 0$ B、命题“ $\exists x \in R$ ， $1 < y \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $y \leq 1$ 或 $y > 2$ ” C、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是真命题 D、设x， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 8$ ”的必要不充分条件

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \geq 0 \\ - |x + 2|, x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (x)$ 图象上关于原点对称的点有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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10、已知互不相等的数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}, t$ 的平均数为 $t$ ，方差为 $s_{1}^{2}$ ，数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系无法判断

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11、千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（）

A、 $\frac{112}{243}$ B、 $\frac{131}{243}$ C、 $\frac{167}{243}$ D、 $\frac{189}{243}$

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12、如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）：平均数>中位数=众数 B、图（2）：众数>平均数 C、图（3）：众数<中位数<平均数 D、图（3）：众数<平均数<中位数

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13、已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2}, B = {x ∣ x = 2 n + 1, n \in N}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${3, 5}$ C、 ${1, 3, 5}$ D、 ${1, 3, 4, 5}$

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14、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} ln x$ .

(1)、证明：当 $a > 0$ 时，直线 $y = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a > 1$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 的极大值点和极小值点，记 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ，证明：直线 $A B$ 与曲线 $y = f (x)$ 有异于 $A$ ， $B$ 的交点.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 经过 $(4, 0)$ ， $(0, 3)$ ， $(4 \sqrt{2}, - 3)$ 三个点中的两个，若 $O$ 为原点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $x = - \frac{12}{5}$ 上，且 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求 $C$ 的渐近线方程：

(2)、求 $△ A O B$ 面积S的最小值：

(3)、证明：直线 $A B$ 与定圆相切，并求出该定圆的方程.

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16、已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；

(2)、用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $\frac{P (χ^{2} \geq k) |0.050| 0.010 ∣ 0.001}{k |3.841| 6.635 ∣ 10.828}$ .

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17、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $A C = 3$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 在边 $B C$ 上， $△ A B D$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B D$ ：

(2)、求 $△ A C D$ 的周长.

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18、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为6，侧棱长为3，点 $P$ 在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若 $P A ⊥ P B_{1}$ ，则 $P$ 的轨迹长度为.

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19、若一个 $n$ 位数，各位数从高到低分别为 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} (n \geq 2)$ ，且满足 $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{n}$ ，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有个.

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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