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相关试卷

1、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的前后两项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 为等差数列，这样的数列 $1, 3, 6, 10$ 称为二阶等差数列.已知数列 $\{a_{n}\}, a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n ⩾ 2)$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列 B、 $a_{n} = 4 n - 2$ C、数列 $\{a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}\}$ 为三阶等差数列 D、数列 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 为二阶等差数列

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2、已知正三棱柱的侧棱长为 $l$ ，底面边长为 $a$ ，若该正三棱柱的外接球的体积为 $36 π$ ，则 $l + a$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $7 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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3、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} + n - 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $S_{n} \leq 0$ D、数列 $\{S_{n} - a_{n}\}$ 为等差数列

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$ D、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$

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5、随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（）

A、45% B、30% C、13.5% D、13%

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6、在复平面内，复数 $(9 - 8 i) (5 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、设集合 $A = \{x |x^{2} \leq 1\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x |- 2 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 3 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x \leq 1\}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $∠ A = 120 °$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E} =$ ；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为．

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin x - |x - a|$ 的最大值为0，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $- \sqrt{3} - \frac{5 π}{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{4 π}{3}$ C、 $\sqrt{3} - \frac{2 π}{3}$ D、 $- \sqrt{3} + \frac{π}{3}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = - 2 n^{2} + 3 n + 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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11、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = - 2$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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12、函数 $sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ 与函数 $cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ 分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．

(1)、判断函数 $f (x) = sinh x$ 与函数 $g (x) = cosh x$ 的奇偶性，并加以证明；

(2)、我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$
$sinh 2 x = 2 sinh x \cdot cosh x$
$cosh 2 x = {cosh}^{2} x + {sinh}^{2} x = 2 {cosh}^{2} x + 1 = 1 + 2 {sinh}^{2} x$
……
①请你用 $cosh x, cosh y, sinh x$ 与 $sinh y$ 表示 $cosh (x + y)$ 和 $sinh (x + y)$ （不要求证明）．
②若 $coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ ，求证： $coth (x + y) = \frac{1 + coth x coth y}{coth x + coth y}$ ．
③定义 $x \otimes y = \frac{1 + x y}{x + y}$ ，求 $(((2 \otimes 3) \otimes 4) \otimes \dots) \otimes 11$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x (x - 4), & x \geq 0, \\ x (x + 4), & x < 0 . \end{matrix}$

(1)、求 $f (1), f (- 3), f (a + 1)$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (x) \geq x$ 的解集．

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14、设函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}), f (- \frac{5 π}{12}) = - 1, f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减．

(1)、求 $ω, φ$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = sin x$ 的图象经过怎样的变换得到？

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15、若 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{sinπ x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在无数个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最大值 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递减函数 D、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形

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17、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = e^{x}$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ C、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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18、下列化简中，正确的是（）

A、 $\cos 10 ° - \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ B、 $\cos 10 ° + \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ C、 ${(\sin 10 ° + \cos 10 °)}^{2} = 1 + \sin 20 °$ D、 $\tan 20 ° + \tan 40 ° + \sqrt{3} \tan 20 ° \tan 40 ° = \sqrt{3}$

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19、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ $\frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A、8100 B、900 C、81 D、9

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20、 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin x$ 与 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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